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Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 291 
die Art des Extrems nach derselben Hegel, wie vorhin f"(a) ent 
schieden hat. 
Wenn nämlich f"(a) = 0 und f'"(a) < 0, so sind die Kri 
terien dafür vorhanden, daß f'{a) ein Maximum ist; da aber 
f'(a) = 0 ist, so muß f'(a -f- h) in gehöriger Nähe und zu beiden 
Seiten von a negativ sein; dann aber ist f(a) kein Extrem. 
In gleicher Weise schließt man aus f"(a) = 0 und f'"(a) > 0, 
daß f'(a) — 0 ein Minimum ist, daß also f'(a + h) in gehöriger 
Nähe und beiderseits von a positiv sein müsse, woraus folgt, 
daß f(a) kein Extrem ist. 
Der zweite Teil der Behauptung erweist sich folgender 
maßen als richtig. 
Aus f" (a) = 0 und f lv (a) < 0 schließt man, daß f"{a) = 0 
ein Maximum ist, daß also eine Umgebung von a existiert, in 
welcher f"{a + h) negativ bleibt mit alleinigem Ausschluß von 
h = 0; in dieser selben Umgebung ist f{a + h) abnehmend, 
und da f'(a) = 0, so ist f'(a -f h) links von a positiv, rechts 
davon negativ, infolgedessen f(a) ein Maximum. 
In analoger Weise ergibt sich, daß für f IV (a) >0 f{a) 
ein Minimum ist. 
117. Allg emeines Kriterium. Unter gewissen Voraus 
setzungen, die aber bei den gewöhnlich auftretenden Funktionen 
fast ausnahmslos vorhanden sind, läßt sich die Frage nach den 
Extremen allgemein erledigen. Die Funktion f(x) besitze im 
ganzen Bereiche, in welchem sie betrachtet wird (etwa mit 
Ausnahme der Grenzen), eigentliche Differentialquotienten und 
für einen Wert x = a, für den f'( a ) = 0, sei auch 
f"(a) — 0, f"(a) - 0, ... /■(-!)(«)- 0, 
hingegen f^(a) =)= 0; ferner sei f( n \x) wenigstens in einer an- 
gebbaren Umgebung von a stetig. 
Unter diesen Voraussetzungen läßt die Funktion in der 
letztgedachten Umgebung die Anwendung der Taylorschen 
Formel zu, und diese (91, (6) und (7)) gibt: 
/(« + Ä) - m + i ^Y, ± V > K (0 < e < i) 
woraus 
(4) f(a + h) - f(a) - r /•<“)(« + Oh).