Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 293 
indem f'\0) = — 6 und f'\ 1) = 6 ist; daher ist f(0) = h ein 
Maximum und /'(1) = 1) — 1 ein Minimum. 
2) Eine Funktion von der Form 
fix) = a 0 x m + a 1 x m+1 + o 2 x m+i + • • • 
— m eine natürliche Zahl ^2 —, wo die rechte Seite ein 
Polynom oder eine konvergente Potenzreihe ist, besitzt an der 
Stelle x = 0 ein Extrem, wenn m gerad, und zwar ein Maximum 
oder Minimum, je nachdem a 0 negativ oder positiv ist; das 
Extrem selbst ist f(0) = 0. 
Denn es ist /"(0) = 0, und der erste für x = 0 nicht ver 
schwindende Differentialquotient ist 
/“( m )(x) = 12... ma 0 2 • 3 ... (m + + • • •, 
daher fW(0) = 1 • 2 ... ma 0 . 
Von diesem Satze kann häufig Gebrauch gemacht werden. 
So folgt aus ihm beispielsweise, daß 
V 
2 p 
+ 0. 
ein Maximum oder Minimum erreicht hei x = 0, je nachdem 
p < 0 oder p > 0; denn nach obigem gilt dies für y — q, und 
zwar ist das Extrem dieser Differenz 0, daher jenes von y 
gleich q. Desgleichen kann über das Extrem von 
y = ccx 2 + 2ßx + y 
entschieden werden; bringt man nämlich diese Gleichung auf 
die Form 
y — r + --- = ^ ((* x + ß) 2 > 
ß2 ß 
so ist unmittelbar zu erkennen, daß y — y -\ für x = 
den maximalen oder minimalen Wert 0 annimmt, je nachdem 
a < 0 oder cc > 0; dieselbe Erscheinung tritt auch hei y selbst 
ein, und zwar ist dessen maximaler, hzw. minimaler Wert 
ß2 
y —^ • (Scheitel der Parabel.) 
Auch hei der Funktion 
f(x) = x m (a — x) n , 
in welcher m, n natürliche Zahlen 2 und a eine positive 
Zahl bedeuten sollen, kann der Satz benutzt werden; faßt man