Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 311 
so ließen sich sowohl Gerade bezeichnen, für welche die rechte 
Seite von (5) positiv, als auch solche, für welche sie negativ 
ist; eine Gerade der ersten Art wäre diejenige, welche durch 
cos = 0 (wozu cos<p = ±l gehört) gekennzeichnet ist; und 
eine Gerade der anderen Art würde sich beispielsweise aus 
(b 0 cos *+äSr os *-° 
ergeben. Bestünde endlich 
d-f d-f _ (jy \ 2 = 0 
ex- cy- \dxdy) ’ 
so hätte allerdings die rechte Seite von (5) für alle Geraden 
das positive Zeichen, jedoch mit Ausnahme derjenigen, die sich 
aus (7) ergibt, weil für diese der ganze Ausdruck und somit 
verschwände, so daß für diese Gerade eine Entscheidung 
nicht getroffen werden könnte.*) 
Auf Grund dieser Erörterung ergibt sich also der folgende 
Satz: An einer Stelle a/b, an welcher die beiden ersten Differen 
tialquotienten | verschwinden, hat die Funldion f(x, y) einen 
extremen Wert, wenn dort { w--C — (-) > 0 ist, und zwar 
7 dx cy \cxcyj 
*) Die vorstehende Untersuchung kann auch in die folgende all 
gemeinere Form gebracht werden, in der sie wiederholt auftritt; „Unter 
welchen Bedingungen besitzt die Funktion 
F s = a lx £ 2 + 2a 12 §jj + a. 2i 7f 
mit den reellen Variablen g, r\ und den reellen Koeffizienten a lx , a 12 , 
die Eigenschaft, daß sie nur für die Wertverbindung £ = 0, r\ = 0 Null 
wird, für jede andere entweder einen positiven oder für jede einen nega 
tiven Wert besitzt?“ 
Man braucht nur F 2 durch die positive Zahl £ 2 -)- rf zu dividieren, 
£ 
wodurch an dem Vorzeichen nichts geändert wird, und — = cos qp, 
vV+i ! 
^ = cosih zu setzen, um auf die Form (4) zurückzukommen, die 
yT4V 
wegen cos 2 qp cos 2 9 = 1 ein gleichzeitiges Nullwerden von cosqp, cosi^ 
ausschließt. 
Eine Funktion der hier betrachteten Art, mit zwei Variablen und 
homogen vom zweiten Grade, nennt man eine binäre quadratische Form