312 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
ist f(a, b) ein Maximum, wenn an der genannten Stelle negativ, 
ein Minimum, tvenn ^ positiv ist. Ist hingegen an der Stelle 
ajb der Ausdruck — \dxdy) 80 em extremer 
Wert nicht statt, und ist er = 0, so läßt sich ohne weitergehende 
Untersuchung eine Entscheidung nicht treffen. 
Im Falle eines Extrems kann übrigens die letzte Unter 
scheidung ebensowohl mit Hilfe von wie mit erfolgen, 
weil die Bedingung (6) nicht erfüllt sein kann, ohne daß 
d*f 
beide von Null verschieden und desselben Vorzeichens sind. 
dy‘‘ 
d 2 f 
Die durchgeführte Betrachtung verliert ihre Grundlage, wenn 
’‘ s ' 2 für jede Richtung verschwindet, und dies tritt vermöge (4) 
dann ein, wenn für x == a, y = b 
dfl 
dx 2 
jy 
dxdy 
= 0, 
Sff 
Sy* 
= 0. 
Es muß dann, soll f{a, b) ein extremer Wert sein, auch 
für alle Richtungen verschwinden (116), und dies setzt (54, (6)) 
voraus, daß an der Stelle ajb auch alle partiellen Differential- 
und bezeichnet sie, wenn sie die beiden angeführten Eigenschaften be 
sitzt, als definit; wenn sie sie nicht besitzt, als indefinit; wenn sie sie 
nur teilweise zeigt, als semidefinit. 
Die hinreichende und notwendige Bedingung, damit F 2 definit sei, 
ist also a n a ä2 — a 12 2 ^>0, und das Vorzeichen richtet sich dann nach 
«n (oder a 22 ). 
Die Form F 2 ist indefinit, wenn a tl a 22 — a 19 2 <^0 ist. 
Sie ist endlich semidefinit, wenn a 11 a 22 — of 12 2 =0; sie hat dann 
zwar die Eigenschaft der Zeichenbeständigkeit, wird aber Null nicht 
bloß für | = 0, r] = 0, sondern für alle Weitverbindungen, die der Pro 
portion £: r\ = — a 12 : a n genügen. 
In Anwendung auf das vorstehende Problem kann man also sagen, 
daß nur dann sicher ein extremer Wert vorhanden ist, wenn die Form 
S*f d*f d 2 f 
w-y + 2 o -w + a '2 definit ist. 
dx~ dxdy dy 2 
Uber den Fall der semidefiniten Form sind mehrfache Untersuchungen 
angestellt worden (s. den Artikel „Differential-Integralrechnung“ von 
A. Voss im Teil I, Bd. II der Enzykl. d. mathem. Wissensch., p. 83—85).