Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 313 
quotienten dritter Ordnung von f(x, y) Null werden; ist dies 
d±f 
der Fall, so kommt es weiter auf - ' 4 an. Das Vorzeichen 
dieses Differentialquotienten, wenn es für alle Richtungen das 
selbe bleibt, entscheidet über Maximum oder Minimum in dem- 
■r cl*f d 2 f 
selben Sinne wie das Vorzeichen von sobald ; 4=0 ist. 
d s d S“ 
Inbetreff der Fortsetzung dieser Schlüsse braucht nur auf 117 
’verwiesen zu werden. 
122. Kriterien für eine Funktion beliebig vieler 
Variablen. Die Definitionen für das Maximum und Minimum 
einer Funktion u = f(x 1} x if . . . x n ) von n (> 2) unabhängigen 
Variablen sind jenen für eine Funktion zweier Variablen analog; 
es hat die Funktion an der Stelle xjx 2 j. . ./x n ein Maximum 
bzw. ein Minimum, wenn sich eine positive Zahl r\ angeben 
läßt derart, daß 
(8) f{x x + /q, x 2 + h 2 , ...x n + h n ) - f(x lt x 2 ,. .. x n ) < 0, 
bzw. 
(9) ffa 4 h, 4ä + h, •••«* + K) - fi X l> **;••• O > 0 
für alle Wertverbindungen hjhj. . . ¡h n) für welche gleichzeitig 
1 \ 1 < v, | \ i < v, • • • 1KI < v, 
ausgenommen die Wertverbindung 0/0/.../0. 
Wenn man sich der Terminologie, welche für zwei und 
drei unabhängige Variable wirklich anschauliche Bedeutung hat, 
allgemein bedient (49), so darf man sagen, die Bedingungen (8) 
und (9) stellen die Forderung, es sei f(x u x 2 , ... x n ) ein Maxi 
mum bzw. ein Minimum, in welcher durch den Punkt xjx^j.. .¡x n 
gehenden Richtung man auch die Funktion verfolgen mag. 
Dieser Forderung wird aber nur dadurch entsprochen, daß der 
totale Differentialquotient (49, (11)) 
df df , df . , df 
-3 = ä cos Ti + — cos cp 9 4 • • • 4 -■ cos cp 
ds CXy t2 I 'Tn 
für alle Richtungen, also für alle Wortverbindungen von cos cp lf 
cos <p 2 ,. . . cos cp n (sofern sie nur der notwendigen Bedingung 
cos 2 qpj 4 cos 2 cp 2 4 • • • 4 cos 2 cp n == 1 entsprechen) den Wert 
Null annimmt. Daraus folgt als notwendige Bedingung für einen