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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
= 0. 
extremen Wert das Gleichungssystem: 
do) i£_o -^ = 0 i£ 
a», > 0^, ’ ■ • • a*. 
An einer Stelle, welche aus diesem Gleichungssystem sich 
ergibt, findet aber nur dann in jeder durch sie gehenden Rich 
tung ein Maximum oder Minimum statt und läßt sich daher 
auch die Bedingung (8) oder jene (9) erfüllen, wenn der zweite 
totale Differentialquotient (54) 
d*f d*f 2 , d*f o . . d*f 2 
= ö—4 cos 2 cp, + o—i cos 9h + • • ‘ + ;rxri cos Vn 
ds 2 dx,- dx, 2 
+• 2 cos ^ 003 f'- + 2 
8V 
8^ dx s 
cos cp 1 cos cp 3 + 
für alle Richtungen negativ, bzw. für alle Richtungen positiv ist. 
Man kann diesen Kriterien auch den folgenden Ausdruck 
geben. Weil das totale Differential df zugleich verschwindet 
mit dem totalen Differentialquotienten ~, und weil das zweite 
totale Differential d 2 f gleiches Vorzeichen hat mit dem zweiten 
totalen Differentialquotienten, so gilt der Satz: Die Funktion 
f{x x , x 2 , . . . x n ) kann einen extremen Wert nur an einer solchen 
Stelle erlangen, an welcher das totale Differential 
df = P- dx, + ^ dx 9 + 
' dx, 1 1 cx t 2 
, Zf , 
-f- dx 
dx. n , n 
identisch, d. i. unabhängig von den Werten dx 1 , dx. 2 , . . . dx n , ver 
schwindet; und es hat die Funktion an einer solchen Stelle wirk 
lich ein Maximum oder ein Minimum, wenn das zweite totale 
Differential 
ji-c a 9 i Z*f n 2 I 
df= ^“2 dxp -f dx 2 + 
, Z*f , 
-f k—2 dx n 
dx- 71 
¡dx*), 
d 2 f d 2 f 
+ 2 ~— dx, dxo + 2 - -„ dx, dx 3 + • • • 
1 dx, dx 2 1 2 dx, dx 3 1 ä 
beständig, d. i. für alle Wertverbindungen dxjdxj.. 
negativ bzw. positiv ist. 
*) Hierbei dürfen unter dx,, dx 2 , ... dx n beliebig große Werte 
gedacht werden, weil das Vorzeichen des Ausdruckes für d 2 f auf das 
allein es ankommt, nicht geändert wird, wenn man ihn mit dem Quadrat 
einer beliebig großen Zahl q multipliziert; dann aber treten an die 
Stelle von 
dx„ dx 2 , . . . dx n 
die Produkte 
gdx,, gdx 2 , . . . gdx n ,