320 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Daher ist schließlich 
( a i — « 2 ) ißi 72 — ßa 7i) + (L — b 2 )(y 1 cc 2 — y 2 a,) 
У(ßi 7 2 — & 7i) 2 + (7i «2 — 7 2 «1) 2 + («1 ft— K 2 ßi)*’ 
wobei jenes Zeichen zu wählen ist, das den Ausdruck positiv macht. 
4) In der Ebene eines gegebenen Dreiecks den Punkt zu 
finden, dessen Entfernungen von den Eckpunkten des Dreiecks 
die kleinste Summe gehen. 
Ist ABC (Fig- 30) das Dreieck, und bezieht man den 
Punkt M auf ein Polarkoordinatensystem mit A als Pol und 
Fig. so. AB als Polarachse, so daß AM = r, 
C 
<)CBAM=cp seine Koordinaten sind, 
so ist die Größe, um deren Minimum 
es sich handelt, 
S = AM+BM+CM=r 
+ j/c 2 + r 2 — 2cr COS Cp 
+ l/i 2 _|_ r 2 _ 2br cos (A — cp); 
Cö 
c 
dabei sind a, h, c die den Ecken A, B, C gegenüberliegenden 
Seiten und A der Winkel an der gleichnamigen Ecke; die 
Wurzeln gelten als positiv. 
Die Bedingungen des Minimums lauten: 
8S 
dr 
r — e cos qo 
]/c 2 -j- r 2 — 2 er cos cp 
r — b cos (J — rr\ 
УЬ~ -|- r 2 — 2 br cos (Л — cp) 
er sin cp 
?Ф |/c 2 —}— i' 2 — 2er cos qp 
br sin (A — cp) 
"j/ö 2 -j- r 2 — 2br cos (A — cp) 
die zweite dieser Gleichungen wird durch r = 0 befriedigt. 
Schaltet man diese Lösung zunächst aus und drückt dann die 
beiden Gleichungen in den Linien der Figur aus, wobei zu be 
achten ist, daß, sofern BD J_ AM und CE _L AM, 
r — c cos cp = iJi — AB = — AID, 
c sin cp = BD, 
r — Ъ cos {A — cp) = AM — AE = — ME 
Ъ sin (A — cp) = CE,