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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
b -f- c ist aber derjenige Wert von S, welcher r = 0 entspricht, 
und er stellt ein Minimum dar, wenn 
S —- (b c) = 11 — 2 cos ^ cos ^ — yj | r 
, f sin 2 qp , sin 2 (A — <p) ] r 2 , 
( c "• b 1 2 "• 
für ein genügend kleines r beständig positiv bleibt, während 
cp das Intervall (0, 2jt) durchläuft; r sei insbesondere so klein 
festgesetzt, daß das Glied mit der ersten Potenz die Summe 
aller übrigen dem Betrage nach übertriflft. 
Ist A < 120°, y < 60°, also 2 cos ~ > 1, so kann durch 
Wahl von cp der Koeffizient von r nach Belieben positiv wie 
negativ gemacht werden, dann stellt somit b + c keinen ex 
tremen Wert dar. 
A 
Ist A = 120°, also 2 cos ~ = 1, so ist der Koeffizient von 
A 
r im allgemeinen positiv, verschwindet jedoch für cp = --; 
trotzdem bleibt die Differenz S — (h + c) auch an dieser Stelle 
positiv vermöge des nun maßgebenden Gliedes mit r 2 , das 
positiv ist. 
Ist A > 120°, also 2 cos y < 1, so behält der Koeffizient 
von r für alle Werte von cp das positive Vorzeichen, also auch 
S-(b + c). 
In den beiden letzten Fällen, und es sind das gerade die 
jenigen, welche die erste Lösung ausschließt, ist also A die 
gesuchte Lage des Punktes M, für welche S ein Minimum ist. 
Daß bei diesem Problem überhaupt nur ein Minimum ent 
stehen kann, geht daraus hervor, daß man S zwar beliebig 
groß, aber nicht beliebig klein machen kann. 
5) Es sind n Punkte M i (i = 1, 2, . . . n) im Raume ge 
geben und jedem derselben ist eine positive Zahl m i zugeordnet. 
Man soll jenen Punkt S bestimmen, für welchen die Summe 
der mit den Zahlen m i multiplizierten Quadrate der Entfer 
nungen SM { ein Minimum ist. 
Sind xjyjs, die auf ein rechtwinkliges System bezogenen 
Koordinaten von M i} x/y/z die Koordinaten eines beliebigen