Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 325 
Faßt man jedoch nur solche Werte der Funktion fix, y, z) 
ins Auge, welche zu Verbindungen xjy/z gehören, die der 
Bedinqunqsqleichung 
cp{x, y, z) = o 
Genüge leisten, und stellt die Frage nach den extremen unter 
diesen Werten, so handelt es sich um ein von dem vorher 
gehenden verschiedenes Problem. 
Im ersten Falle galten die Variablen x, y, z als unab 
hängig, und ihr Gebiet war der ganze Raum R. In dem neuen 
Falle sind die Variablen abhängig voneinander, indem durch 
die Bedingungsgleichung cp(x, y, z) = 0 etwa z als Funktion 
von x, y darstellbar ist; ihr Gebiet ist eine den Raum R durch 
setzende Fläche (45). Man bezeichnet extreme Werte der ersten 
Art als absolute Extreme, extreme Werte der zweiten Art als 
relative oder bedingte Extreme.*) 
Würde neben der oben aufgestellten Bedingung den Wert 
verbindungen x/yjz, für welche f{x, y, z) in Betracht gezogen 
wird, auch noch die weitere 
t{x, y, z) = 0 
auferlegt, so wäre die Beschränkung weitergehend als vorhin; 
jetzt könnten mittels (p(x, y,z) = 0 und tl>(x, y, z) = 0 etwa 
y,z als Funktionen von x dargestellt werden, und das Gebiet 
der Variablen wäre eine den Raum R durchsetzende Kurve (45). 
Weiteren Bedingungen aber dürfen die Variablen x, y, z 
nicht unterworfen werden. 
Die Bestimmung relativer Extreme werde nun an einer 
stetigen Funktion fix, y, z, u) von vier Variablen erklärt, die 
zwei Redingungsgleichungen: 
[<p{x, y, z, u) = 0 
WO», V, z,u) = 0 
unterworfen sind. 
Der eine Weg bestünde darin, daß man mit Hilfe der 
Gleichungen (1) zwei der Variablen, z. B. z, u, durch die beiden 
andern, x, y, ausdrückt und diese Ausdrücke in f(x, y, z, u) 
einträgt; dadurch geht f in eine Funktion der unabhängigen 
') Ygl. betreffs dieser Bezeichnungen auch 114.