Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 327 
bestimmt; mit diesen Werten von l, y ist dann tatsächlich 
(5) 
nur mehr Funktion von dx, dy. 
An einer Stelle aber, an welcher f, als Funktion der un 
abhängigen Variablen x, y aufgefaßt, einen extremen Wert hat, 
verschwindet das totale Differential unabhängig von den Werten 
von dx, dy (122); an einer solchen Stelle ist also 
(6) 
df 
dx 
df 
dy 
dx 
+ ^ qI + h iT 1 — ^ 
dty 
dx 
+ W + A?_o. 
dy dy 1 oy 
Damit hiernach die Funktion f(x, y, z, u) unter Einhaltung 
der Bedingungen (1) einen extremen Wert erlange, müssen die 
Werte von x, y, z, u und die Werte der Multiplikatoren l, y 
so gewählt werden, daß 
<P («, V, 8,u)=~0 
Tf{x, y, z,u) = 0 
d f , . djp 
dx A dx 
. dy> 
+ ^dx 
= 0 
(J) 
d / + X d /+y |*_ 0 
dy dy ' dy 
l f + A + u = 0 
dz 1 dz * 
df _i_ ; ^9» . ,, ^ _ o 
0 M 
3 M 
sei; in der Tat sind diese 6 (allgemein c + ») Gleichungen 
zur Bestimmung der genannten 6 (bzw. n + r) Größen gerade 
ausreichend. 
Die vier letzten Gleichungen des Systems (7) wären aber 
die notwendigen Bedingungen für die absoluten Extreme der 
Funktion 
fix, y, z, u) + lcp{x, y, z, u) + yxf{x, y, z, u), 
wenn man y, X als konstante Zahlen voraussetzt. Man kann 
mithin den Satz aussprechen: Die Bedingungen dafür, daß die 
Funktion f unter Einhaltung der Gleichungen cp = 0, xf = 0 
zwischen ihren Argumenten einen extremen Wert erlange, sind