Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 329 1 
an; die Bedingungen hierfür lauten: 
X — x 0 — ЯА = 0 
У - Уо - ЬЪ = О 
z — z 0 — X С = 0. 
Verbindet man sie mit der Bedingungsgleichung, so ergibt 
sich zur Bestimmung von X die Gleichung: 
X(A 2 -+- JB 2 + G 2 ) + Äx 0 -f- By 0 + Cz 0 -f- D — 0, 
woraus 
3 Ax 0 -f- By 0 -|- Cz^ + D 
Л- + JA 6 ?s 
Setzt man diesen Wert in die obigen drei Gleichungen ein, 
so ergibt sich die Stelle x/y/z, welcher das Minimum ent 
spricht, also der Fußpunkt des von x 0 /y 0 /z 0 auf die Ebene ge 
fällten Lotes. 
Hier war aber die Frage nach der kürzesten Entfernung 
selbst gestellt; um diese zu finden, setze man in dem Ausdruck 
für d 2 anstelle von x — x 0 , у — y 0 , z — z 0 die aus den obigen 
Gleichungen fließenden Werte; dadurch ergibt sich: 
mind 2 = 2 2 (H 2 4-5 2 + G 2 ) 
und nach Eintragung des Wertes für X: 
д _ Ma? 0 -f- By 0 -f- Cz 0 -}- D 
± VA- -f />' 2 + G* ’ 
wobei der Wurzel jenes Zeichen beizulegen ist, welches den 
ganzen Ausdruck positiv macht. 
Die analytische Begründung dafür, daß der gefundene Wert 
ein Minimum ist, ergibt sich aus der Betrachtung des zweiten 
Differentials von d 2 , welches 
2(dx 2 -f dy 2 + dz 2 ) 
und nach Berücksichtigung der Bedingungsgleichung 
2 (dx‘ + df+{ iix + Biy ) i \ 
lautet und wesentlich positiv ist. 
2) Aus einer rechteckigen Tafel von gegebenem Inhalt a-, 
aber von zu wählender Form, sind an den vier Ecken gleiche 
quadratförmige Ausschnitte zu machen derart, daß nach Auf-