340 Erster Teil. Differential-Rechnung, 
sehbaren Mannigfaltigkeit der möglichen Gleichnngsformen ist 
an eine Einteilung der transzendenten Linien nicht zu denken; 
spezielle Erzeugungsweisen haben zu Gruppen solcher Linien 
geführt. 
Die parametrische Darstellung gestattet nicht unmittelbar 
zu entscheiden, ob die Linie algebraisch oder transzendent sei. 
128. Die Tangente in rechtwinkligen Koordinaten. 
Hat man aus der Gleichung oder den Gleichungen der Kurve 
eine Anzahl zusammengehöriger Werte xjy bestimmt, so ist 
damit eine Anzahl von Punkten der Kurve gegeben, die jedoch, 
wenn sie nicht nahe genug aneinander liegen, eine sichere Vor 
stellung von dem Verlaufe derselben nicht zu bieten vermögen. 
Genaueren Aufschluß darüber vermittelt der Differential- 
quotient von y in bezug auf x, welcher die Richtung der 
Tangente an die Kurve in jedem ihrer Punkte anzugeben ge 
stattet. Sein Vorzeichen läßt erkennen, ob die Kurve bei wach 
sendem x steigt oder fällt, und seine absolute Größe zeigt an, 
wie rasch dieses Steigen oder Fallen an der betreffenden Stelle 
vor sich geht (22, 36). 
Zudem ist die Tangente diejenige unter den Geraden, 
welche durch den betreffenden Punkt der Kurve gehen, der 
sich die Kurve in der Umgebung des Punktes am engsten an 
schließt. Um dies zu zeigen, nehmen wir auf der Kurve einen 
Punkt M(x/y) an und legen durch ihn eine Gerade; ihre Glei 
chung sei 
(4) M(|— x) — y) —0; 
von dieser Geraden hat ein anderer an M sehr nahe liegender 
Punkt M t (x -f- zlx/y + zly) der Kurve den Abstand 
^ _ A A x B A y 
~ b 2 ’ 
die Wurzel im Nenner mit dem entsprechenden Zeichen ge 
nommen. Sind nun x, y solche Funktionen eines Parameters u, 
nisclien Linien. Die Einteilung der algebraischen Linien nach der Ord 
nung rührt von Newton her. — Eine sehr reichhaltige Übersicht über 
die bisher untersuchten algebraischen und transzendenten Linien gab 
G.Loria in dem Werke: Spezielle algebraische und transzendente Kurven 
der Ebene, Theorie und Geschichte. Deutsch von Jb. Schütte, Leipzig 
1902, 1911.