Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 369 
rational und in endlicher Form darstellbar ist (103); bei 
irrationalem n ist die Linie transzendent.*) 
Perspektive Transformation aus dem Pol erzeugt immer 
wieder eine Kurve derselben Art. 
Aus der Gleichung r n = a n cos ncp entsteht durch die 
Rotation cp = ^ wieder eine Gleichung der Form (40). 
Aus (40) ergibt sich durch Differentiation 
r n ~!/= a n cos ncp 
und daraus tg6 = Л- = tg ncp, woraus в = ncp die ganze 
Zahl % so gewählt, daß 0 in das Intervall (0, jc) fällt. 
137. Tangente, Normale, Suhtangente und Sub 
normale im Polarsystem. Verlängert man die Tangente 
und die Normale in einem Punkte M einer Kurve bis zum 
Schnitt mit jener Geraden, die in 0 senkrecht zum Leit 
strahl OM steht, so wird die zwischen M und dem betreffen 
den Schnittpunkte enthaltene Strecke als Länge der Tangente, 
beziehungsweise Länge der Normale oder kurzweg als Polar- 
*) Um zu zeigen, wie umfassend diese Klasse von Kurven ist, seien 
einige der einfachsten besonderen Fälle angeführt. 
Für n — 1 lautet r — a sin cp in rechtwinkligen Koordinaten x 2 -|- y i 
= ay und stellt einen Kreis dar. 
Für n— 2 hat man r 2 = o 2 sin2(p und in rechtwinkligen Koordi 
naten (¿c 2 —(-2/ 2 ) 2 = 2a 2 xy, dies ist die Gleichung der Lemniskate, die sich 
aus der in 132, 2) erkannten Gleichungsform durch Rotation des Ko 
ordinatensystems um , also durch die Substitution | = — ~~ 
4 i/o 
— x 4-у ... 
r\ = ——— ergibt. 
1/2 
Bei n — entsteht aus Yr — f/a sin-^- durch den Übergang zu 
u a 
rechtwinkligen Koordinaten 4 (x 2 -)- y 2 ) 2 -f- 4ax(x 2 -(- y 2 ) — a 2 y 2 = 0, die 
Gleichung der Kardioide (130, (19)). 
Der Fall n = — 1 führt zu der Geraden y = — a. 
—Ay*/ zu der gleichseitigen 
Mit n = — 2 kommt man von —=■ 
r 
Hyperbel xy = — -A . 
Für n = ergibt sich aus 
in rechtwinkligen 
Vr 
Koordinaten y 2 = 4« {x -f- a) die Gleichung einer Parabel, bezogen auf 
,Brennpunkt und Achse. 
Ozuber, Vorlesungen. I. 3. Aufi. 
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