382 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Ist a eine reelle Wurzel dieser Gleichung, so hat man den 
Abschnitt der zugehörigen Asymptote auf der Ordinatenachse 
zu suchen, der sich als Grenzwert von y — ax ergibt; setzt 
V ß 
man y — ax = ß, so folgt daraus ^- = a -f- —, und führt man 
dies in (10) ein, indem man gleichzeitig jedes Glied mittels 
der Taylorschen Reihe nach Potenzen des Inkrements — ent- 
wickelt, so ergibt sich: 
u n (a) + x~ 1 {u n _ 1 {a) + u' n {ct)ß] + 
x ~*[ u n-a(«) + U 'n-Mß + <'(«) 4 1 + ' ‘ ‘ = °> 
welcher Ansatz sich mit Rücksicht darauf, daß a eine Wurzel 
von (10) bedeutet, vereinfacht zu: 
(12) M n _i(«) + u n (a)ß + 
+ u ' n -Mß + <'(«) |- 2 j+ 0, 
für lim x = oo reduziert sich diese Gleichung auf 
(13) 
woraus 
(14) 
u n-1(«) + u 'Mß = 
Un-1 (or) 
*'»(«) 
Sollten m w _!(«) und u n (a) zugleich Null sein*), so beginnt 
die linke Seite in (12) erst mit dem Gliede in x~ x \ nach Fort 
hebung dieses Faktors und Ausführung des Grenzübergangs 
lim x = oo liefert (12) zur Bestimmung von ß die quadratische 
Gleichung: 
( 15 ) w «- 2 0) + u ' n -Mß + u n" («) y = 0. 
Hat diese zwei reelle verschiedene Wurzeln, so besitzt die Kurve 
zwei parallele Asymptoten vom Richtungskoeffizienten a\ hat 
sie zwei gleiche reelle Wurzeln, so fallen zwei Asymptoten in 
einer Geraden zusammen, usw. 
Diese Untersuchung ist mit jeder reellen Wurzel von (11) 
auszuführen. 
*) u n (or) = 0 besagt, daß a eine mehrfache Wurzel von u n (a) = 0 ist.