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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
erfüllt; da aber 8 an dieser Stelle den Wert Null hat, so 
läßt sich eine Umgebung von x 0 feststellen, innerhalb welcher 
8, die Stelle x 0 selbst ausgenommen, beständig positiv ist. 
Mit Rücksicht auf die Definition von 8 heißt dies, es sei in 
dieser Umgebung y > Y, so daß die Punkte der Kurve über 
der Tangente liegen, d. h. auf derselben Seite der Tangente, 
auf welcher ein aus M 0 zur positiven Ordinatenachse parallel 
gezogener Halbstrahl M 0 {Y) verläuft. Man sagt dann, die 
Kurve sei in der Umgebung des Punktes M 0 , oder kurz im 
Punkte M 0 , konkav nach oben (konvex nach unten). 
Ist y 0 " negativ, so sind bezüglich 8 an der Stelle CO ~~~~ COq 
die Kriterien des Maximums erfüllt; und weil 8 an dieser 
Stelle selbst Null ist, so ist es in einer angebbaren Umgebung 
negativ, infolgedessen y < U; die Punkte der Kurve liegen 
dann in dieser Umgebung unter der Tangente oder auf ent 
gegengesetzter Seite in bezug auf üf(Y’); man sagt, die Kurve 
sei in der Umgebung von M 0 oder in J\I 0 selbst konkav nach 
unten (konvex nach oben). 
Nun aber sei y 0 " = 0, hingegen y 0 '" von Null verschieden. 
Dann hat 8 an der Stelle x 0 keinen extremen Wert (116), und 
da es an dieser und sonst an keiner andern Stelle der betreffen 
den Umgebung verschwindet, so hat es zu beiden Seiten von 
Demnach ist auf der 
einen Seite y > Y, auf der anderen y < Y, 
die Kurve also einerseits über, andererseits 
unter der Tangente. Einen solchen Punkt, bei 
dessen Überschreitung die Konkavität von einer 
Seite zur andern wechselt, nennt man einen 
Wende- oder Inflexionspunkt, die zugehörige 
Tangente eine Wende- oder Inflexionstangente 
der Kurve. Eine solche Tangente berührt und schneidet die 
Kurve zugleich. Geometrisch ist sie dadurch gekennzeichnet, 
daß sie mit der Kurve in M 0 drei vereinigt liegende Punkte 
gemein hat; der Sinn dieser Ausdrucks weise gründet sich 
auf die Auffassung der Tangente als Grenze einer um M 0 ge 
drehten Sekante M" M 0 M' (Fig. 63), wenn bei der Drehung 
M 0 entgegengesetzt bezeichnete Werte 
die Punkte M', 
nähern (22, 2)). 
M" unaufhörlich dem Punkte M n sich