Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 395 
Wenn daher der zweite Differentialquotient 
d" = 
r 2 r" — 2 rr' a cos (cp — c 0 ) 
r 4 ‘ p 
einen von Null verschiedenen Wert besitzt, so hat d an der 
Stelle cp = cp 0 einen extremen Wert; es ist aber 
daher 
COS (cp — or 0 ) 1 
r 
d" = 
V 
r 2 -f 2 r'* — rr" 
Ist also r 0 > 0 und 
V + 2r 0 ' 2 - r 0 r 0 " > 0, 
so ist d an der Stelle cp = cp 0 ein Minimum, und weil es dort 
den Wert Null hat, so läßt sich eine Umgebung von cp 0 fest 
stellen, innerhalb deren d > 0, also — > l. oder 
v a 
r < R, 
so daß die Punkte M der Kurve dem Pole näherliegen als die 
korrespondierenden Punkte Q der Tangente; man bezeichnet 
dann die Kurve im Punkte M 0 als konkav gegen den Pol. 
Ist hingegen r 0 > 0 und 
r o 2 + 2r o 2 - r o r o" < °> 
so ist d ein Maximum für cp = cp 0 , und weil es hier den Wert 
Null hat, so ist es in einer entsprechend festgestellten Um 
gebung negativ, daher “ < ~ oder 
r> R, 
so daß die Kurve in dieser Umgebung vom Pole weiter ent- 
o O 
fernt ist als ihre Tangente; man bezeichnet sie dann in M 0 
als konvex gegen den Pol. 
Es bleibt noch der Fall 
r 0 2 -f 2r 0 ' 2 — Vo"= 0 
übrig; tritt dieser ein und wechselt r 2 + 2r' 2 — rr" bei dem 
Durchgänge durch <p 0 sein Vorzeichen, so ist der Punkt M 0