Erster Abschnitt, Variable und Funktionen. 
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a dem absoluten Werte nach fortan kleiner Ueiht als eine be 
liebig kleine festgesetzte positive Zahl s f ohne jemals zu ver 
schwinden. 
Wie klein also auch e gewählt wird, so ist und bleibt 
von einem gewissen Momente im Verlauf der Änderung des x 
0 < | x — a 1 < e; 
man drückt diesen Sachverhalt in Kürze durch den Ansatz 
lim x = a 
aus (limes = Grenze). 
Besteht beispielsweise der Bereich der Variablen x aus 
den Zahlen einer Fundamentalreihe 
f 1 ®2) • • • 
und schreibt man der Variablen vor, der Reihe nach die Werte 
«o, a t , a 2 , ... anzunehmen, so ist die durch die Fundamental 
reihe definierte Zahl ihr Grenzwert; hiernach ist der Grenz 
wert einer Variablen, welche die Fundamentalreihe 
2 3 4 
Y’ Y’ T* 
durchläuft, = 1; ebenso der Grenzwert einer Variablen, welche 
die Reihe der Werte 
12 8 
2 ’ 3 ’ Y’ ’ ’ • 
zu durchlaufen hat, = 1. 
Ist x eine stetige Variable und stellt man sich vor, daß 
sie bei der Konvergenz gegen den Grenzwert a alle Werte 
innerhalb eines übrigens beliebig engen Intervalls (a — d, a) 
oder (a, a + d) oder (a — d, a -f- d) mit alleiniger Ausnahme 
von a selbst annehmen kann, so sagt man, x nähere sich dem 
Grenzwerte a auf stetige Weise. 
Wenn x bei der Konvergenz gegen den Grenzwert a nur 
kleinere Werte als a annimmt, also zunehmend dem a sich 
nähert, so soll dies durch die Zeichen lima; =» a — 0 ausgedrückt 
werden; hingegen wird unter lim x = a -f- 0 ein Grenzüber 
gang zu verstehen sein, bei welchem x nur Werte über a 
annimmt, sich dem a also abnehmend nähert. Mit Rücksicht 
auf die geometrische Versinnlichung der reellen Zahlen kann 
auch von einer linksseitigen und einer rechtsseitigen Konvergenz 
gesprochen werden. Darf x Werte sowohl unter wie Werte