Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 405 
Werte y, y', y" treten zu lassen, um die zur Bestimmung der 
Parameter des Oskulationskreises führenden Gleichungen: 
{x — a) 2 + (y — ß) 2 = r 2 
x — a + {y — ß) \f = 0 
1 + y' 2 + {y - ß)y"= 0 
zu erhalten. Aus denselben ergibt sich sukzessive 
, 1 + 2/' 2 
V + T » 
J y 
x _ G + y *)y' 
y" 
(1 + y' s V. 
y" 
Der OskulatioDskreis, der durch die Parameter (12) be 
stimmt ist, hat mit der Kurve im Punkte M im allgemeinen 
eine Berührung zweiter Ordnung und eine solche ist mit einem 
Schneiden verbunden; Kurve und Oskulationskreis haben also 
zu beiden Seiten des Berührungspunktes entgegengesetzte Lage 
gegeneinander. 
Weil für den Oskulationskreis und die Kurve in M die 
zweiten Differentialquotienten der Ordinate einander gleich sind, 
also auch im Vorzeichen übereinstimmen, so wendet hier der 
Oskulationskreis seine Konkavität nach derselben Seite wie 
die Kurve. 
Wenn zwei Kurven C und C' in einem Punkte M sich 
nach der zweiten oder einer höheren Ordnung berühren, so 
haben sie hier einen gemeinschaftlichen Oskulationskreis, weil 
sie in den Stücken, welche die Parameter des Oskulations 
kreises bedingen, übereinstimmen. 
Ist für die Kurve C im Punkte M y"= 0, so werden die 
Parameter des Oskulationskreises, nämlich die Koordinaten a, ß 
seines Mittelpunktes und der Radius r unendlich; der Kreis 
degeneriert in die Taugente der Kurve in i)/; dies ist beispiels 
weise auch dann der Fall, wenn der Punkt M Inflexionspunkt 
ist; in der Tat wurde auch gezeigt (151), daß die Inflexions 
tangente eine Berührung zweiter Ordnung aufweist. 
(12) 
r =