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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Beispiel. Es sei 
y = ax 2 + 2hx -f c 
die gegebene Kurve — eine Parabel, deren Achse der Ordi- 
natenachse parallel ist —, und für den Punkt, dessen Abszisse x 
ist, sei der Oskulationskreis zu bestimmen. 
Setzt man die Werte für y, 
y — 2 ax -j- 2 h 
y"= 2a 
in die Formeln (12) ein, so ergeben sich als Parameter des 
Oskulationskreises: 
A(ax + b) 3 b 
a = -— 1 —• 
a 
ß- 
6{ax b) 2 4- 2{ac — b 2 ) -f- 1 
2a 
r = [1 + k(ax -f- 6) 8 jf _ 
2a 
Für den Punkt M als Punkt der Parabel ist, weil y" = 2a, 
y"'= 0; 
für denselben Punkt, als dem Oskulationskreise angehörend, 
ergibt sich der dritte Differentialquotient der Ordinate, indem 
man die zweite Gleichung (11) nochmals diiferentiiert und rj, 
r[, rj" durch y, y y" ersetzt, also aus der Gleichung 
%>"+ (y — ß)v"'=o- 
rj"' hat demnach auch den Wert Null, wenn 
y'y" = 4a(ax -f h) == 0 
b b 2 
ist, also für x = , wofür y — c : im Scheitel der Pa- 
rabel (118, 2)) und nur hier findet demnach Superoskulation 
statt, und die Parameter des bezüglichen Oskulationskreises 
sind : 
ß = 
2 {ac — b 2 ) -|- 1 
2 a 
§ 5. Die Länge eines Kurvenbogens und das 
Bogendifferential. 
153. Definition der Länge eines Kurvenbogens, 
Der Begriff der Länge eines Kurvenhogens gründet sich auf die 
Vorstellung, daß es möglich sei, einem biegsamen nicht dehn