Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 417 
In allen diesen Formeln hat die Quadratwurzel das nämliche 
Vorzeichen wie dx zu bekommen, damit sin v positiv sei; das 
Differential der unabhängigen Variablen, also des Parameters, 
wird dabei immer als positiv angesehen. 
Ist die Kurve in der Form f{x, y) = 0 gegeben, so ersetze 
man in (7) und (9) y und y" durch die aus 57, (9) und (10) 
resultierenden Werte und erhält so die Formeln: 
(9**) 
Q - 
0Cr\ — oc 
y 0 = y~ 
(/*’+ fy*ß 
txxfy 2 V 2fxyfxfy fyyfx 2 
(fx 2 -f- ft/)fx 
fxxfy 2 — % fxyfxfy + fyyfx* 
(/ä 2 -f- fy*)fy 
fxxfy 2 — ’¿fxyfxfy fyyfx* 
Der invariante Charakter des Krümmungshalbmessers, der 
geometrisch unmittelbar einleuchtet, ist an der Form (7*) 
leicht zu erweisen. Wendet man nämlich auf dieselbe die 
orthogonale Transformation (67, (2)) 
x = <h x i + & iVi + c i 
y = a 2 x x 4- b 2 y x + c. 2 
a x 2 -f- a 2 =1 a 2 + b 2 = 1 
V + b 2 =i « 2 2 + V = i 
a x b x -f- a 2 b 2 = 0 a x a 2 + b x b 2 = 0 
an, so wird 
dx = a x dx x + b l dy l , dy = a 2 dx x -\-b 2 dy x , 
d 2 x = a x d 2 x x + b x d 2 y x , d 2 y = a 2 d 2 x x + b 2 d 2 y x , 
daraus 
dx 2 -f- dy 2 = ^a^ 2 + 
dx dy 
a x b x , dx x dy x 
d 2 x d 2 y 
a 2 b 2 d 2 x x d 2 y x 
infolgedessen verwandelt sich der bezeichnete Ausdruck für 
Q in 
(ßx^ -f- dy x *)I 
/¡{dx i d 2 y l — dy l d i x 1 ) J 
und da der Modul /1 der Transformation den Wert -j- 1 oder 
— 1 hat, so ist die Invarianz des absoluten Wertes erwiesen; 
das Vorzeichen hängt in der Tat vom Koordinatensystem ab. 
Czuber: Vorlesungen. I. 3. Aufl. 27