Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 
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a + 0 oder 
unbeschränkt, 
schließlich 
rtan größer 
Zahl K, so 
eigentlichen) 
K ist, von 
iclerung des x 
an, das posi- 
ausgedrückt, 
d negativ, so 
soll gelten, 
Vorzeichen 
Variablen, 
all («, ß) de- 
les Intervalls. 
f{a), gehört, 
bezeichnen 
ye nach dem 
re lim x = a. 
n der Stelle 
i gerade auf 
an, welche 
Die zweite 
f(x) an der 
von y derart 
nach kleiner 
tzte positive 
i Grenzüber- 
ten können, 
Übergang des 
Nähert sich x der Grenze a wachsend, so konvergiere y 
gegen den Grenzwert &; man schreibt dies in der Form 
lim 
lim a:=a- 
y 
oder kürzer lim y = h 
x=a— 0 
an; nähert sich x der Grenze a abnehmend, so konvergiere y 
gegen den Grenzwert in Zeichen: 
lim y = V. 
x=a~\~0 
Wenn nun h + so sagt man, y besitze an der Stelle a 
zwei verschiedene Grenzwerte, einen links und einen andern 
rechts. Ist dagegen h — V, so spricht man von einem Grenz 
wert au der Stelle a schlechtweg, schreibt dies wie folgt an: 
lim y — h 
x=a 
und hat hiermit folgenden Sinn zu verbinden: Zu einem be 
liebig klein vorgeschriebenen positiven s gibt es immer ein 
ebenfalls positives ö derart, daß | y — h | < s bleibt, sobald x 
in seiner Annäherung an die Grenze a so weit vorgeschritten 
ist, daß es fortan in dem Intervall (a — d, a + d), also 
\x — a | < d verbleibt. 
Wenn der absolute Betrag von y, während x der Grenze 
a sich nähert, schließlich größer bleibt als eine beliebig groß 
festgesetzte positive Zahl K, so spricht man (im uneigentlichen 
Sinne) von einem unendlichen Grenzwert des y, der wieder 
-}-oo,—oq oder unendlich von unbestimmtem Vorzeichen (be 
stimmt unendlich oder unbestimmt unendlich) sein kann. Der 
Ansatz 
lim y = + oo 
x—a — O 
bringt also die Tatsache zum Ausdruck, daß bei wachsendem 
und der Grenze a unaufhörlich sich näherndem x dessen 
Funktion y schließlich fortan positiv bleibt und jeden noch so 
großen Betrag überschreitet. Der Ansatz 
lim y = — oo 
x=a 
würde den Sinn haben, daß, von welcher Seite sich x der 
Grenze a auch nähert, y von einem Momente angefangen fort 
ab negativ bleibt und dem Betrage nach über jede angebbare 
Zahl hinaus wächst.