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Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung nsw. 421 
der Normale mit der Abszissenachse dem Betrage nach um 
ebensoviel sich ändert wie der Winkel x der Tangente, so ist 
dv 2 = daher läßt sich die letzte Gleichung in der Form 
ds 0 2 -f ds 2 = dg 2 + Q 2 dr 2 
schreiben, und da mit Rücksicht auf die Formeln 156, (3), (5) 
q = ^ ist, so reduziert sie sich auf 
ds 0 2 = dg 2 , 
woraus 
(1 i) d Sq = 4^ d q . 
In zusammengehörigen Punkten der Evolute und der gegebenen 
Kurve haben die Punktionen, welche den Eogen der ersteren und 
den Krümmungshalbmesser der letzteren ausdrücken, dem Betrage 
nach gleiche Differentiale, bei demselben Differential der unab 
hängigen Variablen. 
Von den beiden Vorzeichen gilt das obere oder untere, je 
nachdem s 0 und p in gleichem oder im entgegengesetzten Sinne 
sich ändern. 
Solange ein und dasselbe, z. B. das positive Vorzeichen 
gilt, können sich die Funktionen s 0 und p nur um eine Kon 
stante unterscheiden (38); also ist dann 
s o = 9 + c ‘i 
wendet man diese Gleichung auf den Anfangspunkt der 
Zählung für die Bögen der Evolute an, rig. 72. 
welchem auf der gegebenen Kurve C (Fig. 72) 
der Punkt M x mit dem Krümmungsradius p x 
entsprechen möge, so lautet sie; M/Va 
0 = ih + c [ s ß, 
und gibt in Verbindung mit der obigen: 
(!8) s 0 = q — p t . 
Hiernach ist ein Bogen Si t Si der Evolute gleich der Diffe 
renz der in seinen Endpunkten endigenden Krümmungsradien 
Jijßi, M£i der gegebenen Kurve, vorausgesetzt, daß der Krüm 
mungsradius von M 1 bis M in gleichem Sinne sich ändert. 
Weil die Bestimmung von p nur Differentiationen er 
fordert, so ist es zufolge der Beziehung (18) möglich, einen 
M