Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 425 
als Gleichung der Evolute der Ellipse. Es ist eine aus vier 
gleichen Quadranten von der Form A 0 B 0 zusammengesetzte 
Kurve mit vier Spitzen; auf rationale Form gebracht lautet 
ihre Gleichung: 
{( 
+ 
M 2 
V 
11 = 
27 
und läßt erkennen, daß es eine Kurve sechster Ordnung ist. 
Die Länge des Quadranten A 0 J3 0 der Evolute ergibt sich 
als Differenz zwischen dem größten und kleinsten Krümmungs- 
• • CL^ - J) ® 
halbmesser, ist also gleich ——^— 
Setzt man in den Ausdrücken für a 0 , h 0 an Stelle von h 
das Produkt &]/—!, so daß 
a _ + & 
, a 2 +h* 
b 0 - - - ßoV- 1 
wird, so geht die Gleichung (21) über in 
(y 0 \$ 
W V^o/ ’ 
und dies stellt die Evolute der Hyperbel von den Halbachsen 
a, h dar, weil durch den gleichen Prozeß die Gleichung 
y- 
a 2 ^ b 2 
= 1 
der Ellipse in die Gleichung der Hyperbel sich verwandelt. 
3) Bei dem Cartesischen Blatt (129, 3) und Fig. 35 da 
selbst) — 3 aX y -j- y3 = o 
ist die Frage nach dem Krümmungsradius im Ursprung inso 
fern unbestimmt, als sich dort zwei Aste der Kurve schneiden; 
wegen der Symmetrie in bezug auf die Halbierende des Koordi 
natenwinkels haben aber beide dort dieselbe Krümmung; es ist 
also gleichgültig, für welchen Ast man q bestimmt. Wir 
wählen dazu den Ast, der die Abszissenachse berührt, haben 
es also mit dem Punkt 
x = 0, y = 0, y'= 0 
zu tun und brauchen für ihn nurmehr y" zu bestimmen. Nun 
gibt zweimalige sukzessive Differentiation der Kurvengleichung 
x 2 — ay — axy' 4- y 2 y' = 0 
2x — 2ay — axy" A 2yy' 2 A y 2 y" = 0;