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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
die erste dieser Gleichungen wird durch die obigen Werte tat 
sächlich befriedigt, die zweite aber liefert keine Bestimmung 
für y"' differentiiert man sie nochmals: 
2 — 3ay" - axy'" + 2i+ Qyy'y" + y 2 y"' = o, 
2 
so gibt dies für den betrachteten Punkt y" = —, folglich 
3 a 
® = ~2 ' 
4) Für die Lemniskate (132, 2)) 
([x 2 -f y 2 ) 2 — a 2 {x 2 — y 2 ) = 0 
in den Berührungspunkten der Doppeltangenten den Krüm 
mungsradius zu bestimmen. 
Die Lemniskate hat zwei Doppeltangenten, das sind Ge 
rade, welche sie zweimal an verschiedenen Stellen berühren; 
beide sind der x-Achse parallel. Man bekommt ihre Berührungs 
punkte, indem man in der nach x diiferentiierten Kurven- 
gleichung: 
2(x 2 -f y 2 )(x -f yy) - a 2 {x — yy) = 0 
y' = 0 setzt und hierauf aus beiden x, y rechnet; mau erhält 
für den Punkt im ersten Quadranten — und es genügt, diesen 
allein zu betrachten — 
a -i / 3 a 1 /1 
= 2 V '2 * y = 2 V Y ’ 
y 
0, 
Um sein y" zu finden, hat man in dem Ergebnis der zweiten 
Differentiation: 
4(x + yy') 2 + 2{x 2 + y 2 )(1 + y 2 -f yy") - a 2 (1 - y 2 — yy") = 0 
diese Werte einzusetzen und bekommt so y" = — ; mit- 
J 2a 1 
hin ist 
al/2 
s o = _ 
5) Die Bedingung, unter welcher q oder 
2 = d±iT 
Q y"2 
einen extremen Wert erlangt, ergibt sich durch Nullsetzen 
der Ableitung und lautet, wenn man von Wendepunkten 
gleich absieht; 
%y y" 2 - (1 +tf*)y"- 0.