Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 431 
(25) 
r 0 cos irp„ ~ <p) — 9 cos (e + I) - r, 
162. Darstellung in Polarkoordinaten, Die Be 
stimmung des Krümmungshalbmessers und Krümmungsmittel 
punktes für eine auf ein Polarsystem bezogene Kurve gestaltet 
sieb folgendermaßen. 
Die Tangente MT des betrachteten Punktes M (Fig. 78) 
mit den Koordinaten r/(p bilde mit der Verlängerung des 
Radiusvektors den Winkel 0, mit der Polaracbse den Winkel r; 
vermöge der Beziehung rig- 78. 
x — 6 -f- cp 
ist der Kontingenzwiukel 
dt = dd 4- dep- 
und da 0 = arc tg (135), weiter; 
r r ^d<P + d(p 
r 2 -\-2r' 2 —rr 
r 2 -f r 2 
ferner ergab sich für das Bogendifferential der Ausdruck 
(155, (11)) 
ds = ]/r 2 -f- r' 2 dtp. 
Mithin ist der Krümmungshalbmesser 
(24) 
(r 2 -(- r 2 )I 
i* r 2 +2 r' 2 —rr" 
(vgl. 65, 1), woselbst dieser Ausdruck aus jenem für recht 
winklige Koordinaten auf analytischem Wege, durch Transfor 
mation der Variablen, abgeleitet wurde; er ergibt sich, falls 
man die Wurzel im Zähler positiv nimmt, positiv oder negativ, 
je nachdem die Kurve im Punkte M gegen den Pol konkav 
oder konvex ist (147). 
Der erstere dieser beiden Fälle liegt der Fig. 78 zugrunde; 
die nach der konkaven Seite der Kurve gezogene Normale 
schließt mit der Leitstrahlverlängerung den Winkel 6 — 
ein; wird q von M aus nach dieser Seite abgetragen, so ergibt 
sich der Krümmungsmittelpunkt Sl, dessen Koordinaten r 0 /(p 0 
sein mögen. Durch Projizieren des Linienzuges OilM auf den 
Radiusvektor ergibt sich die Gleichung: