Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 437 
einen für einen Bereich von x reellen Zweig von (1) und 
(3) y = xp{x) 
einen anderen zumindest in demselben Bereich reellen Zweig 
dar, so werden diese beiden gemeinsame Punkte aufweisen, so 
fern die Gleichung 
(p(x) = il>(x) 
innerhalb jenes Bereichs reelle Wurzeln besitzt; ist x 0 eine 
solche Wurzel, so ist 
cp(x 0 ) = = y 0 
eine doppelte zu x 0 gehörige Wurzel von (1), die beiden Aste 
(2), (3) schneiden sich in (# 0 /«/ 0 ) 0( ^ er be- 
rühren einander dort (Fig. 82 a) und b)); 
die erste Erscheinung bezeichnet man als 
Selbstdurchschnitt oder Knotenpunkt, die 
zweite als Selhstberührung des ganzen durch 
(1) dargestellten Gebildes. 
Bedeutet 
V = <pi%) 
einen Zweig, welcher beispielsweise in dem 
Intervalle (— oo, x 0 ) komplexe und in dem Intervalle (x 0 , -f oo) 
reelle Werte von y gibt, also nur in dem letzteren Intervalle 
reell ist, so gehört zu ihm notwendig ein anderer Zweig 
V = ^(x) 
mit denselben Reellitätsverhäitnissen, weil in einer Gleichung 
mit reellen Koeffizienten komplexe Wurzeln immer paarweise 
Vorkommen; und da die Paare konjugiert sind, so haben (p(x), 
ip(x) in dem Intervalle (— oo, x 0 ) die Formen 
co 1 (x) -f ico 2 (x) 
Oj (x) — i C3 2 (x), 
wobei co 1 (.x), Q 2 (;r) stetige reelle Funktionen bedeuten; an der 
Stelle x 0 werden beide Funktionen reell in der Weise, daß 
co 2 (x 0 ) = 0 wird; in demselben Augenblicke wird 
y 0 = = <K%> = «iW; 
so daß die reellen Teile der Zweige im Punkte x 0 /y 0 zugleich 
beginnen. Dies kann, wie in Fig. 83, so geschehen, daß der 
Punkt M 0 den Charakter eines gewöhnlichen Punktes aufweist, 
Fig. 82.