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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
165. Analytische Charakteristik der singulären 
Punkte. Um die Natur eines Punktes x 0 /y 0 , welcher dem 
durch (1) dargestellten Gebilde angehört, festzustellen, schlagen 
wir folgenden Weg ein. 
Durch Translation des Koordinatensystems werde die Glei 
chung (1) derart transformiert, daß der Punkt x 0 /y 0 Ursprung 
wird; die bezüglichen Transformationsgleichungen lauten: 
x = x 0 + t, y = y 0 + n 
und die transformierte Gleichung (100, (41)): 
f( x o + h Vo + V) 
-f(x*,ik)+fki + fk*l + + 2 fl to in +fcrT) + • •■ = 0, 
oder aber, weil f(x 0 , y 0 ) = 0 ist: 
№ +r,.n + 4 (f*A*+2+...=o. 
Die Abszissen der Schnittpunkte, welche die durch den 
neuen Urspi'ung, also durch den betrachteten Punkt M 0 der 
Kurve, gelegte Gerade # 
(5) rj = tl 
mit der Kurve bestimmt, ergeben sich aus der Gleichung 
(6) (fk + tfDl + ~(fk- + + ffAW + ■ ■ ■ - o. 
Sind fx 0 , fy 0 nicht gleichzeitig Null, so hat diese Gleichung 
| = 0 zur einfachen Wurzel, die Gerade (5) also mit der Kurve 
in M 0 im allgemeinen nur einen Punkt gemein, und man be 
zeichnet daher M 0 als einfachen Punkt der Kurve. Nur wenn 
man den Richtungskoeffizienten t so bestimmt, daß 
(V f* 0 + fi t = 0 
wird, hat die Gerade (5) in M Q mit der Kurve mindestens zwei 
vereinigt liegende Punkte gemein und ist Tangente der Kurve 
in diesem Punkte; der Punkt ist damit zugleich als gewöhn 
licher Punkt gekennzeichnet. Aus (7) ergibt sich, wenn 
fy 0 ^ 
und hiermit 
(8) 
+ fkv = 0