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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
b) Ist die Diskriminante 
fkfrt — f*Jo = 0 > 
so besitzt (11) zwei gleiche reelle Lösungen, die beiden durch 
M 0 laufenden Kurvenzweige haben hier eine gemeinsame Tan 
gente; dies kann verschiedene Erscheinungen an der Kurve 
bedingen: einen Selbstberührungspunkt (Fig. 82, b)) oder eine 
Spitze (Fig. 84) oder einen isolierten Funkt.*) Ob das eine 
oder das andere zutrifft, muß eine weitere Untersuchung fest 
stellen. Gibt es zu beiden Seiten von M 0 reelle Werte von 
x und y, so ist Selbstberührung vorhanden; sind nur zu einer 
Seite von M 0 reelle y oder reelle x vorhanden, so hat man 
es mit einer Spitze zu tun — ob mit einer der ersten oder 
der zweiten Art, darüber entscheidet die Richtung der Kon 
kavität der beiden Äste in M 0 (146) —; gibt es in der Um 
gebung von M 0 auf keiner Seite reelle y, so ist M 0 ein 
isolierter Punkt. 
c) Ist endlich die Diskriminante 
~ fx'olo > 0 , 
so hat (11) imaginäre Wurzeln und es gehen durch M 0 zwei 
imaginäre Kurvenzweige, M 0 ist also ein isolierter Funkt 
An dieser Stelle genüge der Hinweis auf die Analogie 
zwischen den Kriterien eines Doppelpunktes der Kurve f(x, y) = 0 
*) Daß in einem isolierten Punkte eine reelle Tangente existieren 
kann, ist analytisch so zu erkennen. Sind 
y = u(x) -f- iv{x) 
y = u{x) — i v (x) 
zwei konjugiert imaginäre Zweige, so ist für einen isolierten Punkt x 0 /y 0 , 
der aus diesen Zweigen sich ergibt, 
v{x 0 ) = 0; 
die Tangenten an diesen Punkt im neuen Koordinatensysteme haben die 
Gleichungen 
r¡ == (u'{x 0 ) -f iv {tc 0 ))| 
V = (u(x 0 ) — *V(aj 0 ))£; 
im allgemeinen sind diese Tangenten imaginär: sie werden reell und 
fallen gleichzeitig zusammen, wenn 
v\x o) = 0, 
wenn also x 0 eine mehrfache Wurzel der Gleichung v(x) — 0 ist.