Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 443 
und denjenigen für einen extremen Wert der Funktion f{x, y) 
(121); später wird diese Analogie eine geometrische Deutung 
erfahren. 
Ersetzt man in (11) t durch den Wert aus (5), so ergibt 
sich für das System der beiden Tangenten im Punkte M 0 die 
Gleichung: 
(12) + + 0. 
Würden im Punkte M 0 auch die drei Differentialquotienten 
zweiter Ordnung, nicht aber auch alle vier Differentialquotienten 
dritter Ordnung verschwinden, so ergäbe eine der obigen ana 
loge Erwägung, daß der Punkt M 0 ein dreifacher Punkt der 
Kurve sei und daß das System der Tangenten in diesem Punkte 
die Gleichung 
(13) fö | 3 + 3 №„ + 3 fZAv 2 + /-;„V = 0 
habe. Bezüglich dieser Tangenten gibt die Diskussion der 
kubischen Gleichung (13) oder der Gleichung 
fxf + 3fx 0 * y J + 3 fx"y 0 * f 2 -f f = 0 
Aufschluß, welche die Richtungskoeffizienten bestimmt; der 
größeren Zahl zu unterscheidender Fälle entspricht eine größere 
Mannigfaltigkeit von Formen dreifacher Punkte. 
Aus der geführten Untersuchung sind folgende Ergebnisse 
zusammenzufassen: 
Die singulären Punkte einer Kurve f{x, y) = 0 befriedigen 
außer der Gleichung der Kurve selbst auch noch die Gleichungen 
/*'= 0 und fy'= 0- 
Geht eine algebraische Kurve durch den Ursprung, so belehrt 
der Grad der Gliedergruppe niedrigster Dimension darüber, ein 
wievielfacher Punkt der Kurve der Ursprung ist; diese Glieder 
gruppe gleich Null gesetzt bestimmt das System der Tangenten 
im Ursprung. 
Das erläuterte Verfahren ist auch auf transzendente Kur 
ven anwendbar, sofern die Funktion f{x, y), welche die linke 
Seite der auf Null reduzierten Kurvengleichung bildet, in einem 
Punkte x 0 /y 0 , welcher den Gleichungen f= 0, f x '=0, f '= 0 
zugleich genügt, die Taylor sehe Entwicklung zuläßt.