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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Ist eine Kurve mit Hilfe eines Parameters u dargestellt, 
also in der Form 
X = cp{u) y = ip(u) 
gegeben, dann hat die Prüfung auf singuläre Punkte mit der 
Aufsuchung solcher Punkte x, y zu beginnen, welche mehreren 
verschiedenen Werten des Parameters u zugleich entsprechen; 
das weitere entscheidet die Untersuchung des. Quotienten ~---. 
welcher die Richtung der Tangente bestimmt, in dem betreffen 
den Punkte. (Vgl. 129, 1) bis 3), 132, 2).) 
166. Beispiele. 1) Aus der Gleichung des Cartesischen 
Blattes 
x a — 3axy -f- i/ 3 = 0 
ist unmittelbar zu entnehmen, daß der Ursprung Doppelpunkt 
ist mit den Tangenten x = 0, y = 0; die Kurve bildet also 
dort einen Knoten, der die Koordinatenachsen zu Tangenten 
hat. (Vgl. 129, 8) und Fig. 35; die drei Zweige der Kurve 
sind AOJB, OCJB, OD; der erste trifft mit dem zweiten in 
B, der zweite mit dem dritten in 0 zu einem gewöhnlichen 
Punkte zusammen.) 
Daß die Kurve außerdem keinen anderen singulären Punkt 
hat, geht daraus hervor, daß die Gleichungen 
¿c 3 — 3axy + y 3 = 0 3# 2 —3ay = 0 —3ax + 3«/ 2 = 0 
außer 0/0 keine andere gemeinsame Lösung besitzen. 
2) Die Lemniskate 
(x 2 + y 2 ) 2 — a 2 (x 2 — y 2 ) = 0 
hat den Ursprung zum Doppelpunkt, und die Tangenten da 
selbst sind durch 
X *-y*=Q, 
bestimmt; sie sind reell und einzeln durch 
x — y = 0’ x y = Q 
dargestellt; folglich ist der Ursprung Knotenpunkt und die 
Tangenten in ihm halbieren die Winkel der Koordinatenachsen 
(vgl. 132, 2) und Fig. 39). 
3) Die Zissoide 
(x 2 -\-y 2 )x = 2ay 2 (a > 0)