Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 445 
hat im Ursprung einen Doppelpunkt, die Tangenten in dem 
selben sind durch 
f- 0 
bestimmt, fallen also beide mit der Abszissenachse zusammen; 
da nur zu positiven Werten von x reelle Werte von y gehören, 
so ist der Doppelpunkt eine Spitze, und zwar eine der ersten 
Art, weil vermöge der Symmetrie der Kurve in bezug auf die 
Abszissenachse die beiden Äste zu verschiedenen Seiten der 
Tangente im Rückkehrpunkte liegen (vgl. 129, 2) und Fig. 34). 
4) Die Kurve fünfter Ordnung, welche durch die Gleichung 
(y — x 2 ) 2 — x h = 0 
dargestellt ist, hat im Ursprung einen Doppelpunkt; denn nach 
Entwicklung der Potenz ist y 2 das Glied niedrigster Dimension. 
Die Gleichung 
</ 2 = o 
bestimmt die Tangenten, die beide mit der Abszissenachse zu 
sammenfallen. Man erkennt unmittelbar, daß zu negativen x 
kein reelles y gehört, wohl aber zu allen positiven, infolge 
dessen ist der Doppelpunkt eine Spitze. Die Auflösung 
y = x 2 {l + V%) 
läßt erkennen, daß es eine Spitze der zweiten Art ist; denn 
solange 0<ir<l, sind beide Werte von y positiv, liegen 
also beide Äste der Kurve über der Abs 
zissenachse; erst bei x = 1 tritt der zum 
unteren Zeichen gehörige Ast unter die 
Abszissenachse, wo er dann verbleibt, wäh 
rend der andere beständig über ihr liegt. 
Der untere Ast hat an der Stelle x = ~ 
¿¿O 
einen Wendepunkt und erreicht bei x = 
seine größte Ordinate y = - 2 ^ (Fig. 86). 
5) Die Fußpunktkurve (132) der Ellipse 
a 2 y 2 4- h 2 x 2 — a 2 h 2 in bezug auf den Mittelpunkt als Pol ist 
eine Kurve vierter Ordnung mit der Gleichung: 
(,x 2 + y 2 ) 2 = a 2 x 2 + h 2 y 2 . 
Fig. 86.