Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 447 
bequemsten Aufschluß; man erhält so die Darstellung: 
ar = 
2 m 5 -\- 1 
2 5 M 4 
^ 2 m 5 -f- 1 ’ 
aus welcher die zentrale Symmetrie der Kurve hervorgeht. In 
dem Intervalle (0, + oo) von u bleiben x, y endlich und ihre 
Werte beginnen und enden mit 0/0; die Kurve beschreibt also 
im ersten und dritten Quadranten je 
eine Schleife. In dem Intervalle 
^0, — j/~- ^ sind x, y reell, beginnen 
mit 0/0 und enden mit unendlichen 
Werten; die Kurve hat die Gerade 
y—Vh: welche mit der posi 
tiven Abszissenachse den negativen 
Winkel von 41° 2, 4'. . . einschließt, 
zur Asymptote. In dem Intervalle 
"j/y, —bleiben x, y imaginär (Fig. 87). 
7) Von den Zykloiden (130, a)) 
x = au — b sin u 
y = a 
b cos u 
zeigt die gemeine, b = a, überall dort, wo sie die Abszissen 
achse trifft, also bei u = 2% 7t (x = 0, + 1, + 2, . . .), Spitzen, 
denn für diese Stellen wird 
dy 
dx 
sin u 
1 — cos u 
unbestimmt und wächst bei Annäherung an dieselben ins Un 
endliche (-(- oo, — oo); es treffen hier die Aste mit gemein 
samer, zur Abszissenachse normaler Tangente zusammen. 
Bei der verkürzten Zykloide, b > a, treten Knotenpunkte 
auf, deren Menge und Lage von dem Größenverhältnis b : a 
abhängt. Unter allen Umständen bilden sich Knotenpunkte 
an den Stellen u = 2xjt aus, und es genügt, den ersten davon