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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
denn da durch einen solchen Punkt eine und dieselbe Kurve 
des Systems mehrere Male hindurchgeht, so gibt für ihn die 
Gleichung (1) notwendig mehrere gleiche Lösungen in bezug 
auf u. 
Wenn also die Kurven des Systems mehrfache Funkte besitzen, 
so ist der geometrische Ort dieser Funkte mit in dem geometrischen 
Gebilde enthalten, welches die Gleichung (3) dar stellt, unter Um 
ständen bedeutet die Gleichung (3) diesen Ort allein. 
Um diè volle Bedeutung dieser Gleichung, damit zugleich 
ihren Inhalt für den Fall kennen zu lernen, wenn die Kurven 
des Systems singuläre Punkte nicht aufweisen, gehen wir auf 
den geometrischen Sinn der Gleichungen (2) näher ein. 
Bei feststehendem u stellt die erste eine spezielle Kurve 
des Systems vor. Die linke Seite der zweiten Gleichung ist 
der Grenzwert des Quotienten 
fix, y, u + h) — f{x, y, u) 
h 
für lim h = 0; nun bestimmen die beiden Gleichungen 
, . i if x , y,u)=0 
I f{x, y, u + h) = 0 
zusammen die Schnittpunkte der Kurve u mit jener u + h, und 
(5) fix, y, u -f h) — fix, y, u) = 0 
ist die Gleichung einer dritten Kurve, welche auch durch diese 
Schnittpunkte geht und daher, soweit es sich um diese handelt, 
statt der zweiten Gleichung in (4) genommen werden kann; 
vermöge 38 aber kann (5) weiter ersetzt werden durch 
hf'{x, y, u + Oh) = 0 
oder schließlich, weil h =4= 0, durch 
(5*) f'{x, y, u + Oh) = 0, 
wobei 0 einen positiven echten Bruch bedeutet. Demnach sind 
die Schnittpunkte der beiden Kurven (4) des Systems durch 
das Gleichungspaar 
f(x, y, u) = 0 
f u '( x , y, u +6h) = 0 
bestimmt. Hält man die erste Kurve fest und läßt die zweite 
sich ihr unaufhörlich nähern, indem man h zur Grenze Null