Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 457 
(13) x 5 + y l = « 3 
in welchem I\ liegt, einfach bedeckt wird; in den Punkten P 
der Evolute selbst findet dreifache Bedeckung statt, jedoch so, 
daß zwei der Normalen in eine zusammenfallen. Hierin liegt 
die Bedeutung der Evolute für das Normalenproblem der 
Grundkurve. 
2) Eine Strecke AB (Fig. 92) von konstanter Länge a 
gleitet mit ihren Endpunkten auf den 
Schenkeln eines rechten Winkels; es 
ist ihre Einhüllende zu bestimmen. 
Macht man die Schenkel des rech 
ten Winkels zu Koordinatenachsen, be 
zeichnet mit p die Länge des aus 0 
auf AB gefällten Lotes und mit u 
seinen Neigungswinkel gegen 0 X, so ist 
x cos u + y sin u — p = 0 
die Gleichung der Geraden MP; da aber p = OA cos u = 
a sin u cos u, so nimmt diese Gleichung, wenn alle Bedingungen 
der Aufgabe ausgedrückt werden, die endgültige Form 
x cos u + y sin u — a sin u cos u = 0 
an. Differentiiert man sie in bezug auf den Parameter, so 
entsteht: 
— x sin u + y cos u — a (cos 2 u — sin 2 u) = 0 
und diese Gleichung stellt wieder eine Gerade dar, welche die 
MP im Grenzpunkte schneidet; schreibt man sie in der Gestalt 
— (x — a sin u) sin u + (y — a cos u) cos u — 0, 
so erkennt man, daß diese Gerade auf AB normal steht und 
durch den Punkt C geht, welcher die vierte Ecke des über 
AOB verzeichneten Rechtecks bildet. 
Löst man die beiden vorhandenen Gleichungen nach x, y 
auf, so kommt 
x = a sin 3 u 
y — a cos 3 m; 
zum Zwecke der Elimination von u erhebe man beides zur 
Potenz und bilde die Summe; dadurch entsteht 
Fig. 92. 
Y