Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 473 
hiernach hat man beispielsweise für den Punkt a/a/a]/2 der 
Kurve: 
cos a 
== ~Vi> cos/3 = 0 7 cos y=]/y, 
und es ist hierdurch die Richtung der Tangente im Sinne des 
abnehmenden x bestimmt, wie aus dem Vorzeichen von 
dif,F) 
d{y, 8) 
zu erkennen ist. 
Für den Punkt 2a j0/0 hören die Formeln auf bestimmte 
Bedeutung zu haben; es ist dies ein singulärer Punkt der 
Kurve, wie auch ihre Projektion auf der «/¿-Ebene (Fig. 100b) 
es erkennen ließ. 
Die Gleichungen der Tangente im Punkte x/y/z sind: 
£ — x = n — y = ¿zil. 
— yz z{x— a) ay 
175. Bogendifferential einer Raumkurve. Die in 
153 aufgestellte Definition der Länge eines ebenen Kurven 
bogens läßt sich auch auf eine Raumkurve ausdehnen. Wir 
definieren die Länge eines Bogens M 0 M einer Baumkurve als 
den Grenzwert eines in diesem Bogen von M 0 bis M ver 
laufenden Sehnenzuges bei beständig wachsender Zahl der 
Sehnen und Abnahme jeder einzelnen gegen die Grenze Null. 
Dieser Definition zufolge ist der Differentialquotient der 
Funktion s von u, welche die Bogenlänge ausdrückt, der Grenz 
wert des Quotienten aus der Sehne MM' = c durch die zu 
gehörige Änderung h von u für lim h = 0, d. h. es ist: 
P- - lim 4- - lim y~ Jxt +i»‘ ; 
denn diese Sehne kann als Seite des Sehnenzuges von M 0 bis 
M', also als Änderung der Länge des Sehnenzuges in M 0 M 
bei dem Fortschreiten von M zu M aufgefaßt werden. Führt 
man die Division mit h unter der Wurzel aus und vollzieht 
dann den Grenzübergang, so ergibt sich 
ds i /idx\% /dy\ 2 . 
du V \du) ' \du) \du} 
Geschieht die Zählung des Bogens so, daß er mit u zugleich 
wächst, so ist die Quadratwurzel positiv zu nehmen.