Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 493 
die Quadratsumme dieser Gleichungen führt zu 
demnach hat man endgültig: 
d cos qp . cos X d cos iß cos fi d cos % cos v 
ds T ds T ds T 
Aus der Determinante 181, (12) folgt schließlich: 
cos X = cos iß cos y — cos % cos ß, 
daraus weiter durch Differentiation nach s unter Rücksicht 
nahme auf (I) und (II): 
COS fl COS y — COS V cos ß 
d cos X 
ds 
T 
Q 
und vermöge der erwiesenen Eigenschaft jener Determinante: 
d cos X cos a cos qp 
ds q T ’ 
nach Analogie dieser Formel hat man also: 
^ "os X cosa cos qp d cos (i cos ß cos-iß 
ds Q T » ds Q T ’ 
(III) 
d cos v cos y cos i 
ds q T 
Die Quadratsurame dieser letzten Gruppe von Gleichungen 
führt zu folgender Beziehung zwischen den drei Krümmungs 
maßen: 
JL = JL _l JL 
G 2 q 2 ^ T 2 ’ 
vermöge deren der ganzen Krümmung neben der Flexion und 
Torsion keine selbständige Stellung zukommt. 
Die neun Formeln (I), (II), (III), nach ihrem Urheber 
die Frenetschen Formeln genannt*), enthalten die Bewegungs 
gesetze des begleitenden Dreikants, und da sich in diesen die 
Eigenschaften einer speziellen Raumkurve ausdrücken, so sind 
die Frenetschen Formeln für die Kurventheorie von grund 
legender Bedeutung. Auch bei einer ebenen Kurve kann von 
o O 
*) Häufig auch als Serretsche Formeln bezeichnet; F. Freuet 
hatte sie 1847 als Doktordissertation hei der Toulouse! - Fakultät ein 
gereicht, P. Serret sie unabhängig von ihm gefunden und 1851 im 
Journal von Grelle veröffentlicht, wo 1852 auch Frenets Arbeit erschien.