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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Formel entwickelbar sei, mindestens bis zu den Gliedern zweiter 
Ordnung, daß sie also vollständige Differentialqnotienten der 
ersten zwei Ordnungen besitze, für welche wir die allgemein 
üblichen Bezeichnungen gebrauchen werden: 
dz _ dz _ d^_z _ d*z _ d^z = , 
dx ~dy dx 2 r ’ dxdy S ’ dy 2 
Allgemeiner als (1) ist die Gleichungsform: 
(2) Fix, y, z) = 0, 
welche z als implizite Funktion von x, y bestimmt; die Ab 
leitung der Diiferentialquotienten von z auf Grund dieser 
Gleichung ist in 59 erläutert worden. 
Zu einer dritten Darstellungsweise gelangt man, von der 
geometrischen Erzeugung einer krummen Fläche durch stetige 
Bewegung und eventuell gleichzeitige Formänderung einer 
Kurve ausgehend. Wenn die Koordinaten x, y, z eines ver 
änderlichen Punktes M als stetige Funktionen eines Parameters u 
gegeben sind, so beschreibt M, indem u seinen Bereich stetig 
durchläuft, eine Kurve; und enthalten jene Funktionen noch 
einen zweiten Parameter v, bezüglich dessen sie ebenfalls stetig 
sind, so beschreibt die Kurve, während v das ihm zugehörige 
Intervall stetig durchläuft, eine krumme Fläche. Demnach ist 
auch durch drei Gleichungen von der Form 
(3) x = x{u,v), y = y{u,v), z = z{u,v) 
eine Fläche dargestellt. 
Erteilt man in (3) dem u einen festen Wert, so stellen 
sie eine Kurve dar, welche der Fläche angehört oder ihr auf 
geschrieben ist und die man kurzweg die Kurve u nennen 
kann. 
Aber auch einem festen Werte von v entspricht bei vari 
ablem u eine Kurve auf der Fläche, welche die Kurve v 
heißen soll. 
Im Grunde dieser Auffassung erscheint die Fläche mit 
zwei Scharen von Linien, gekennzeichnet durch u = konst. und 
v = konst., überzogen, und jeder ihrer Punkte als Schnitt zweier 
dieser Linien, jede einer der Scharen angehörig. Man nennt 
die Linien Pararneterlinien, u, v auch krummlinige Koordinaten.