Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 501 
Die zuletzt erklärte Darstellungsweise krummer Flächen 
ist durch Gauß*) in die Flächentheorie eingeführt und aus 
gebildet worden; sie hat sich für tiefer gehende Untersuchungen 
als die geeignetste erwiesen. 
Yon der Darstellung (3) gelangt man durch Elimination 
von u, v zu der Form (2) und, falls hier Lösung nach z mög 
lich ist, zu der Form (1). 
Neben der Beziehung einer Fläche auf ein rechtwinkliges 
Koordinatensystem ist die Darstellung in räumlichen Polar 
koordinaten cp, 6, r am gebräuchlichsten; die Transformation 
der ersteren Koordinaten in die letzteren geschieht (68, I) 
mittels der Gleichungen: 
x = r sin 0 cos cp 
y = r sin 6 sin cp 
z = r cos 0. 
187. Einige Flächengattungen und ihre analy 
tische Darstellung. 1. Als Beispiel der unmittelbaren Dar 
stellung in rechtwinkligen Koordinaten seien die Gleichungen 
der Flächen zweiten Grades angeführt, wenn diese auf ihre 
Hauptachsen als Koordinatenachsen und ihre Hauptebenen als 
Koordinatenebenen bezogen werden. 
Das allgemeine Ellipsoid: —y -f- '^y -(- ^y = 1. Spezielle 
Fälle davon sind die Rotationsellipsoide (wenn zwei der Größen 
a, b, c gleich sind) und die Kugel (wenn alle drei gleich sind). 
CC^ z^ 
Die Hyperboloide, und zwar das einschalige: — 2 -f- = 1, 
das zweischalige: — = 1, darunter die Rotatious- 
hyperboloide als besondere Fälle {a = b und die z- Achse 
Rotationsachse). 
Die Paraboloide, und zwar das elliptische: = + |y, 
das hyperbolische; ~ ; bei a = b ist das erste ein 
Rotationsparaboloid, heißt das zweite gleichseitig. 
*) Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827. Deutsch 
von A. Wangerin in Ostwalds Klassikern (Nr. 5).