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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
an jeder Stelle x = a innerhalb des Intervalls ein hinreichend 
Meines positives rj festsetzen derart, daß für jedes x aus dem 
Intervall (a — rj, a -\- rf) die Beziehung besteht 
I f( x ') ~ f(fl) I < £ - 
Der Wert f(a) gehöre dem Kontinuum (A, B) an; a sei 
klein genug festgesetzt, daß auch f(d) — a und f(d) + a dem 
Kontinuum angehören; diesen Funktionswerten entsprechen Werte 
der Variablen aus dem Intervall (cc, ß), die sich in der Form 
a — h, a + h' oder a h, a — h' darstellen lassen, je nachdem 
die Funktion in dem Kontinuum (A, B) wachsend oder ab 
nehmend ist; ist h die kleinere der beiden positiven Zahlen 
h, h', so genügt jedes rj, das zwischen 0 und h liegt, der 
obigen Forderung. 
An den Endstellen x = u, x = ß ist nur zu einer Seite 
ein Intervall von der gedachten Eigenschaft feststellbar (cc, a-\-rf) 
links, (ß — rj, ß) rechts. 
Diese Eigenschaft der stetigen Punktion wird als „Stetig 
keit an der Stelle x = a“ bezeichnet und häufig zum Aus 
gangspunkt für die analytische Definition der Stetigkeit ge 
nommen, indem man erklärt, eine Funktion, welche an jeder 
Stelle des Intervalls (cc, ß) die erwähnte Eigenschaft besitzt, 
sei stetig in dem ganzen Intervall. 
Bezeichnet x" einen zweiten Wert von x aus dem Intervall 
(a — ij, a rf), so ist neben 
/■(>')-/■<>) 1 <£ 
auch 
I /■(>") - fip) i < 
somit 
I f(x") — f{x') | < 2g; 
es ist also eine Folge der Stetigkeit, daß sich zu jeder Stelle 
a des Intervalls (a, ß) eine hinreichend enge Umgebung 
(a — rj, a -ß rf) bestimmen läßt derart, daß irgend zwei Funk 
tionswerte aus dieser Umgebung eine Differenz geben, deren 
Betrag unter einer beliebig klein festgesetzten positiven Zahl 
2 a liegt. Dieses Verhalten pflegt man auch so auszudrücken, 
daß bei einer stetigen Funktion an jeder Stelle zu einer un 
endlich kleinen Änderung der Variablen eine unendlich kleine 
Änderung der Funktion gehöre.