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Erstei’ Teil. Differential-Rechnung. 
(5*) ff ix, y, z, u + 0h) = 0. 
Wechselt die Zahl g ihren Wert, so zerfällt der Raum in 
Gebiete, welche ungleich vielfach erfüllt sind; an den Grenzen 
dieser Gebiete werden aus den in 168 näher entwickelten 
Gründen mindestens zwei der Werte u einander gleich. Dem 
nach sind diese Grenzen durch das Resultat der Elimination 
von u zwischen den Gleichungen 
| f(?, y, z, u) = 0 
1 fu(*> V> 0,u) = O 
bestimmt, das symbolisch dargestellt werden soll durch 
(3) Dskr J\x, y, z, u) = 0. 
Das Gebilde, welches dieser Gleichung entspricht, umfaßt 
auch den Ort mehrfacher Punkte (Knotenlinien usw.) der 
Flächen (1), falls sie solche besitzen. 
Sehen wir von Singularitäten ab, so ergibt sich die Be 
deutung des in (3) enthaltenen Gebildes durch folgende Be 
trachtung. 
Bei feststehendem Werte von u gehört zur ersten der 
Gleichungen (2) eine spezielle Fläche aus der Schar (1); die 
linke Seite der zweiten Gleichung geht aus 
f{x, y, z, u + h) — fix, y, 0, u) 
h 
bei dem Grenzübergange lim U = 0 hervor. Nun bestimmen 
die beiden Gleichungen 
f fix, y, z, u) = 0 
< 4 > ^ + 
die Durchschnittskuiwe der Flächen, die den Parameterwerteil 
u und u + h entsprechen; durch diese Kurve geht aber auch 
diejenige Fläche, welche die Gleichung 
(5) f{x, y,z,u + h)— f{x, y, z,u) = 0 
hat; zur Bestimmung jener Durchschnittskurve kann also statt 
der zweiten der Gleichungen (4) auch diese letzte Gleichung 
herangezogen werden, die aber nach dem Mittelwertsatze in 37 
wieder ersetzt werden kann durch 
Mü 0, y,*, u + eh ) = 0 
oder endlich durch