Damit ist die Stetigkeit von x m an der beliebigen Stelle a, 
also die durchgehende Stetigkeit dieser Funktion erwiesen. 
Es folgt daraus auch die Stetigkeit jeder ganzen Funktion von x. 
Zu beachten ist, daß die obere Grenze von H abhängt 
von e und a. 
2) Wenn die Funktion f(x) stetig ist in dem abgeschlossenen 
Intervall (a } ß), so läßt sich zu einem beliebig klein festgesetzten 
positiven e ein hinreichend kleines positives rj bestimmen derart, 
daß für jede zwei Werte x, x aus {a, ß), für welche 1 x—x 
< die Beziehung besteht 
1 f{?) “ f( x ') 1 < £ - 
Es werde zunächst vorausgesetzt, die Funktion sei monoton, 
z. B. wachsend, und (A, B) ihr Bereich. Man teile denselben 
in so viele gleiche Teile, daß jeder Teil kleiner ist als 
Anzahl der Teile sei n, so daß 
tionswerten 
Zu den Funk- 
fip')> fi a ) + h, f(cc) + %k, . . . f(a) + n — 1 k, f{ß) 
sollen der Reihe nach die (ebenfalls steigend geordneten) Werte 
Xq — U #i, • • • ^n—lf ~ ß 
der Variablen x gehören; je zwei benachbarte dieser Werte 
bestimmen ein Intervall und das kleinste unter diesen n Inter 
vallen sei gleich h; dann genügt jedes rj, das zwischen 0 und 
h liegt und rj — h selbst der obigen Forderung. Denn nimmt 
man irgend zwei Werte x f x an, für welche j x — x j <[ h, so 
fallen sie entweder in ein und dasselbe Teilintervall (x i} x i+ f) 
oder in zwei benachbarte (x i _ i , xj) und (x if # i+1 ); im ersten 
Falle ist unmittelbar 
| f{x) - fix) | < £ - 
im zweiten Falle hat man zunächst 
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