Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 533 
alle Unterdeterminanten zweiten Grades v er schwinden würden, 
so bestimmen die Gleichungen nur die Verhältnisse 
(x — oi) : {y — b):(z — c), 
also eine Richtung, die Fläche wird zur Zylinderfläche. 
Hierdurch erscheint das, was in 187, 2a) bei der ersten 
Einführung der abwickelbaren Regeliiächen gesagt worden, weiter 
ausgeführt. 
198. Differentialgleichungen der abwickelbaren 
Flächen. Der geometrische Unterschied zwischen einer deve- 
loppabeln und einer nicht-developpabeln Linienfläche drückt 
sich darin aus, daß die Tangentialebene in einem Punkte einer 
Fläche der ersten Art zugleich Tangentialebene in unendlich 
vielen anderen Punkten ist, während sie bei einer Fläche der 
zweiten Art — von Ausnahmefällen abgesehen — nur in dem 
einen Punkte berührt. Es entsteht die Frage, wie sich dieser 
Unterschied analytisch ausdrückt, mit andern Worten, welche 
besonderen Eigenschaften der Funktion fix, y) zukommen, die 
die Applikate z einer developpablen Fläche darstellt. 
Die erste der Gleichungen (13), als Gleichung einer Tan 
gentialebene an die durch die beiden ersten Gleichungen dar 
gestellte abwickelbare Fläche aufgefaßt, enthält außer den ver 
änderlichen Koordinaten nur einen Parameter in den Koeffi 
zienten. Denkt man sich daher die Gleichung der Tangential 
ebene an eine Fläche in der Form 
l-z=p{l-x) + q(ri — y) 
oder 
pl + av — 5 + * — px — qy = 0 
geschrieben, so sind die Koeffizienten p, q, z—px — qy, falls 
die Fläche abwickelbar, Funktionen nur eines Parameters; es 
müssen daher p, q notwendig voneinander abhängen, d. h. 
(22) q = <p(p) 
sein. Diese Gleichung, in welcher cp eine willkürliche Funktion 
bedeutet, charakterisiert also die abwickelbaren Flächen und 
wird als die Differentialgleichung erster Ordnung dieser Flächen- 
gattung bezeichnet, weil sie eine Beziehung zwischen Differential- 
quotienten erster Ordnung darstellt.