Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 
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ibigen Stelle a, 
tion erwiesen, 
'unktion von x. 
dh H abhängt 
abgeschlossenen 
nn festgesetzten 
timmen derart, 
velche 1 x —x | 
>n sei monoton, 
teile denselben 
ist als y ; die 
Zn den Funk- 
n, m 
rdneten) Werte 
dieser Werte 
liesen n Inter- 
wiscben 0 und 
Denn nimmt 
; — x \ h, so 
¡rvall (x it x i+1 ) 
+ x ); im ersten 
1 1 x — x \ <^h. 
Ist die Funktion abwechselnd wachsend und abnehmend, 
so führe man die beschriebene Operation für jeden ihrer mono 
tonen Abschnitte aus; das kleinste unter den gefundenen h 
genügt für den ganzen Verlauf der gestellten Forderung. 
Man bezeichnet diese Eigenschaft gewöhnlich als gleich 
mäßige Stetigkeit; wie die vorstehende Betrachtung zeigt, ist 
sie eine notwendige Folge der Stetigkeit in dem abgeschlossenen 
Intervall (cc, ß). 
Die gleichmäßige Stetigkeit besteht also darin, daß sich 
zu einem beliebig klein angenommenen £ ein hinreichend kleines 
h bestimmen läßt derart, daß, wo man auch zwei Stellen in 
(a, ß) bezeichnen möge, deren Abstand unter h liegt,, der 
Unterschied der zugehörigen Funktionswerte immer kleiner 
als s ist. 
Als Beispiel einer Funktion, bei der sich unmittelbar die 
gleichmäßige Stetigkeit erweisen läßt, betrachten wir f(x) = sin#. 
Es ist 
f[x) — fyx ) = smx — sin# = 2 cos sin ——; 
da nun 1 der größte absolute Wert des Kosinus ist und der 
Sinus, wie klein auch der Bogen, immer kleiner bleibt als dieser 
so hat man im vorliegenden Falle: 
i /*0) - f(x) \<\x-—at\-, 
wählt man also j x — x \ < s, so ist auch, und zwar im ganzen 
Verlauf der Funktion, 
sin X — sin #')<£, 
und dadurch ist die gleichmäßige Stetigkeit dargetan. 
3) Wenn die Funktion fix) in dem abgeschlossenen Inter 
vall (cc, ß) stetig ist und an den Endstellen desselben verschiedene 
Werte besitzt, so gibt es zu jeder Zahl M zwischen f(a) = A 
und f(ß) — B mindestens eine Stelle x in («, ß) derart, daß 
f(x) = M. 
Ist zunächst die Funktion monoton, so ist (A, B) ihr 
Bereich und sie nimmt jeden Wert aus (A, B) und jeden nur 
einmal an, folglich auch den Wert M, der nach Voraussetzung 
zwischen A und B liegt; zu ihm gehört ein Wert x aus (cc, ß), 
und es ist in der Tat einmal f(x) = M.