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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Wechseln dagegen Wachstum und Abnahme miteinander 
ab, und durchläuft die Funktion der Reihe nach die Kontinua 
{Ä, (J), (C, D), . . . (K, B), so muß M mindestens in einem 
derselben Vorkommen; denn ist A<jB und wären die Werte 
aus allen Kontinuen unter M, so könnte der über M liegende 
Wert JB nicht erreicht werden; wären die Werte aus den 
Kontinuen durchwegs über M, so käme der unter M liegende 
Wert A nicht zustande; ähnliche Erwägungen gelten für Aj>B. 
Kommt aber der Wert M in einem der Kontinuen vor, so 
nimmt die Funktion ihn auch für einen bestimmten Wert der 
Variablen aus (ac, ß) an, so daß auch jetzt, und zwar minde 
stens einmal, die Gleichung f{x) = M stattfindet. 
4) Wenn die Funktion f(x) in dem Intervall (a, ß) stetig 
ist und ihre Endwerte f(a) = A, f(Jß) = B ungleich bezeichnet 
sind, so gibt es wenigstens einen Wert x zwischen a und ß, für 
welchen die Gleichung besteht: 
fix) = 0. 
Dieser Satz ist eine Folge des vorangehenden; denn fix) 
nimmt jeden Wert zwischen A und B mindestens an einer 
Stelle des Intervalls (a, ß) an, hier also auch den Wert Null, 
weil er dem Kontinuum (A, B) angehört. 
18. Verschiedene Arten der ünstetigkeit (Diskon 
tinuität). Wenn eine Funktion fix) in der (ein- oder beider 
seitigen) beliebig engen Umgebung einer Stelle x = a definiert 
ist, die Stetigkeitsbedingung aber nicht erfüllt, so heißt sie an 
dieser Stelle unstetig oder diskontinuierlich. An der Stelle selbst 
versagt in solchen Fällen in der Regel die analytische Defi 
nition; es kann aber die Funktion auch hier definiert sein. 
Immer kommt es auf die Untersuchung der Funktion in der 
Umgebung an, auf ihr Verhalten bei unbegrenzter Annäherung 
an die Unstetigkeitsstelle. Auf eine Klassifikation der zahl 
reichen Möglichkeiten soll nicht eingegangen werden; einige 
Beispiele werden genügen, um die Art solcher Untersuchungen 
zu kennzeichnen. 
1) Ist a innerhalb des Intervalls (a, ß) gelegen, f(a) nicht 
bestimmt, jedoch 
lim fix) — lim fix) = b, 
x=a—0 x = a +0