Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 555 
Unter den Evoluten befindet sich jetzt auch die Evolute 
von C im engeren Sinne, d. i. der Ort der Krümmungsmittel 
punkte. Bei einer Raumkurve hingegen gehört dieser Ort 
nicht zu den Evoluten; es würden sonst (s. Fig. 118) die 
Oskulationsebenen der Kurven C und C' in korrespondieren 
den Punkten zusammenfallen, die Tangentenfläche des Ories 
der Krümmungsmittelpunkte wäre also identisch mit der 
Tangentenfläche der Grundkurve, während sie doch begriffs 
gemäß in den Ort der Hauptnormalen übergehen müßte. Dieser 
Widerspruch hebt die Zuläßigkeit der Annahme auf, der Ort 
der Krümmungsmittelpunkte einer Raumkurve gehöre auch 
zu deren Evoluten. 
Wickelt man einen biegsamen, nicht dehnbaren Faden, 
der an einer Raumkurve anliegt, sie berührend verläßt und 
von da ab ohne Ende sich ausstreckt, von der Kurve ab, so 
beschreibt er einen Mantel der Tangentenfiäche der Kurve und 
jeder seiner Punkte eine Evolvente (Filarevolvente) derselben; 
so wie also die Polarfläche Ort der Evoluten, ist die Tangenten 
fläche Ort der Evolventen. 
§ 6. Krümmung von Kurven auf krummen Flächen. 
207. Flexion einerKurve auf einer krummenFläche. 
Den Ausgangspunkt für die Untersuchung der Gestalt einer 
Fläche in der Umgebung eines ihrer Punkte Mg. iu. 
bildet die Frage nach der Flexion, welche 
einer der Fläche aufgeschriebenen, durch 
diesen Punkt laufenden Kurve hier zu 
kommt. 
Die krumme Fläche sei durch die 
Gleichung 
(1) z = f{x, y) 
gegeben; durch den Punkt M (Fig. 114) 
derselben mit den Koordinaten xjyjz gehe eine Kurve C, dar 
gestellt durch die Gleichungen 
(2) x==x(s), y = y{s), * = *(s), 
in welchen s den von dem festen Punkte M 0 aus gezählten 
Bogen M Q M bedeutet; weil die Kurve auf der Fläche liegt, so