Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 561
ist*, in jedem andern Falle führt sie zu zwei um n voneinander
differierenden Werten von 2 05, also zu zwei um ^ voneinander
abweichenden Werten von 05 selbst. Da ferner für die Be
stimmung (13)
Ä (^)_2c^2» [(i _ ) .) 2 + 4s2 j
und cos 2 co für zwei um n auseinanderliegende Werte von 2o5
entgegengesetzte Zeichen annimmt, so entspricht der einen Lö
sung ein Maximum, der anderen ein Minimum von j, •
Unter den Normalschnitten einer Fläche in einem ihrer
Funkte gibt es also zwei ausgezeichnete, die aufeinander senk
recht stehen und deren einer das Maximum, deren anderer das
Minimum der Krümmung aufweist. Man bezeichnet sie als die
Hauptnormalschnitte, ihre Krümmungsradien als die Haupt-
krümmungsradien der Fläche in dem genannten Punkte.
Geht man jetzt zu einem dritten Koordinatensystem über,
das durch Rotation des vorigen um die ¿-Achse derart entsteht,
daß die Ebenen yz und zx mit den Ebenen der Hauptnormal
schnitte zusammenfallen, so wird in diesem neuen Systeme der
Differentialquotient s Null werden, weil ja die Gleichung (13)
die Lösungen 0 und tc ergeben muß; behält man für die beiden
anderen Differentialquotienten zweiter Ordnung wieder dieselben
Zeichen r, t bei, so lautet Formel (12):
■4- = r cos 2 05 -f- t sin 2 05;
«
für 05 = 0 ergibt sich jetzt die eine Hauptkrümmung
1
K
r,
für 05 =
g- die andere
1
: G
B. 2 =
hiernach
ist also:
(15)
l
COS S CO
sin 2 OJ
R
“ ~w
Mit Hilfe dieser Formel ist es möglich, den Krümmungs
halbmesser eines beliebigen Normalschnittes in M durch die zu
gehörigen Hauptkrümmungsradien auszudrüchen, wenn sein Nei-
gungswinhel 05 mit dem einen Hauptnormalschnitte, dem zu If
Czuber, Vorlesungen. I. 3. Aufl. 36