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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
so daß wie in den beiden früheren Fällen; 
B=Q 2 . 
Dieser Sachverhalt entspricht dem in 209, (11) besprochenen 
Grenzfalle. Weil ein Paar paralleler Linien als degenerierte 
Parabel sich auffassen läßt, so nennt man einen Flächenpunkt 
von dieser Beschaffenheit einen parabolischen Punkt. 
Das in der Tangentialebene konstruierte Gebilde (16), 
(17) oder (18), weil es die Krüramungsverhältnisse der Normal 
schnitte anzeigt, • wird nach seinem Urheber die Dupinsche 
Indikatrix des betreffenden Punktes genannt. 
211. Eine andere Auffassung der Indikatrix. Tan 
gentialschnitt einer Fläche. Die Indikatrix gestattet noch 
eine andere Auffassung, welche hier kurz entwickelt werden 
soll, weil sie geeignet ist, in die Natur der verschiedenen Arten 
von Flächenpunkten noch genaueren Einblick zu gewähren. 
Wird der Flächenpunkt M zum Ursprung, seine Tangen 
tialebene zur xy-Ebene gewählt, und ist z von hier aus nach 
der Maclauriuschen Formel entwickelbar, so beginnt die Ent 
wicklung, da bei dieser Annahme p = 0, q = 0 ist, wie folgt: 
1 
(19) 
(rx 2 + 2sxy + ty 2 ) -f £; 
werden x, y als Größen erster Kleinheitsordnung aufgefaßt, so 
ist z von der zweiten und s von der dritten Ordnung. 
Mit Weglassung von s stellt die Gleichung (19) ein (ellip 
tisches oder hyperbolisches) Paraboloid dar, das mit der Fläche 
im Punkte M eine Berührung erster Ordnung hat (148). 
Führt man in der xy-Ebene Polarkoordinaten ein und 
setzt demgemäß 
X = Q COS 01, y = (1 Sin 01, 
so verwandelt sich (19) in: 
2z 
0 2 
wird nun das Koordinatensystem noch derart angeordnet, daß 
die yz- und zx-Pihene mit den Hauptnormalschnitten zusammen 
fallen, so verschwindet s und geht r über in ~, t in ^ , so 
daß die letzte Gleichung lautet: 
C0S 2 ffl sin 2 m 
Q