Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 569 
ändern, nicht unabhängig voneinander sind, daß sie vielmehr 
der ans 207, (4) resultierenden Bedingung 
(23) cos 2 a + cos 2 ß -f- (p cos cc + q cos ß) 2 —1=0 
zu genügen haben. 
Setzt man zur Abkürzung die positive Quadratwurzel 
(24) 1/p* + q 2 + 1 = w, 
so handelt es sich also um die relativen Extreme der Funktion 
~ mit der Nebenbedingung (23), und dies kommt nach 125 
auf die Untersuchung der absoluten Extreme von: 
r cos 2 a -f- 2s cos a cos ß -f- t cos 2 ß 
— A[cos 2 a -f cos 2 ß 4- (p cos a -f q cos ß) 2 — 1] 
zurück, wobei l einen noch unbestimmten Multiplikator be 
deutet. Die Bedingungen für ein absolutes Extrem sind aber: 
^ j r cos a -f- s cos ß = /1[(1 -f p 2 ) cos a + pq cos ß] 
|.s cos a -(- t cos ß = A[(l -f q 2 ) cos ß -\- pq cos «]; 
daraus ergibt sich durch Elimination von X die in bezug auf 
cos a, cos ß homogene quadratische Gleichung: 
|[(1 +p 9 )s—pqr]cos 2 a— [(1 -\-q 2 )r—(1 -\-p 2 )t] cos«cos/3 
1 — [(1 + q 2 )s— pqt] cos 2 ß = 0, 
durch welche die Lage der Hnuptnormalschnitte charakterisiert 
ist. Die Gleichung gibt nämlich zwei Werte für den Quo 
tienten 
dy 
cos ß ds dy 
cos cc dx dx’ 
ds 
und diese bestimmen die Richtungen der Projektionen der 
Tangenten an die Hauptnormalschnitte in der xy-Ebene; da 
durch sind die Tangenten selbst und mit Zuziehung der Flächen 
normale endlich die Hauptnormalebenen gegeben. 
Die Bedeutung des Multiplikators l findet sich aus den 
Gleichungen (25), wenn man die erste mit cos a, die zweite 
mit cos ß multipliziert und darauf die Summe bildet; vermöge 
(22) und (23) erhält man: