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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
der erst gedachten Seite von a wie eine stetige Funktion; wäre 
z. B. lim f(x) = b, so kann f{x) in dem Intervall (a, a) als 
x — a — 0 
stetige Funktion angesehen werden, sofern man /■(«) = & setzt. 
Man sagt, sie sei im Punkte a, und zwar zu einer Seite des 
selben, unstetig. 
So besitzt die Funktion f{x) = a x {a > 1) zur linken 
Seite der Stelle 0, an der sie nicht definiert ist, den Grenz 
wert 0, zur rechten Seite den Grenzwert -f- oo; ergänzt man 
also durch die Festsetzung f{0) = 0, so verhält sich f{x) links 
von 0 wie eine stetige Funktion; wegen des rechtseitigen Ver 
haltens aber ist es bei x = 0 unstetig. 
4) Wenn für den innerhalb {a, ß) liegenden Wert a hei 
den beiden Grenzübergängen a — 0 und a -f- 0 für f(x) der 
Grenzwert oo zustande kommt, so heißt f(x) in a, und zwar 
zu beiden Seiten, unstetig. 
Dieses Verhalten zeigen beispielsweise die Funktionen 
fix) = und cp(x) = p an der Stelle x = 0; nur ist das oo 
hei fix) zu beiden Seiten von 0 verschieden, hei (fix) gleich 
bezeichnet. 
In den Fällen 3) und 4) wird x = a ein TJnendlicJikeits- 
punld der Funktion genannt. 
5) Unstetig heißt f(x) ferner an einer Stelle a, wenn hei 
einem der Grenzübergänge a — 0 und a + 0 oder bei beiden 
f{x) keiner Grenze zustreht, und es kann auch hier von ein 
seitiger oder beiderseitiger Unstetigkeit gesprochen werden. 
Ein Beispiel dieser Art bietet die Funktion fix) = sin — 
V y- . x 
an der Stelle 0 dar; wie sehr man sich dieser Stelle von der 
linken oder der rechten Seite nähern mag, die Funktion hört 
niemals auf, zwischen — 1 und -f- 1 zu schwanken, es existiert 
weder lim fix) noch lim fix). 
x= — 0 x— + 0 
Einen Wert x = a, für welchen eine Funktion fix) eine 
der hier erörterten Eigenschaften aufweist, nennt man einen 
singulären Punkt, und von dem Palle 1) abgesehen, auch einen 
Unstetiglieitspunlct Bei den analytischen Untersuchungen müssen 
solche Punkte von der Betrachtung zumeist ausgeschlossen