Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 571 
gewiesen, daß D positiv ist, so folgt daraus die Realität der 
Wurzeln beider Gleichungen. Nun ergibt sich aus (28), daß 
(1 + iJ 2 )H 2 - (1 + q 2 )B 1 = ~ {(1 + (f)pqr — (1 -f p 2 )pqt) 
\A ~ = ~3 {(1 + q*)pqr— (1 +p 2 )pqt), 
daher ist 
(1 + p*)A 2 = (1 + q*)B t + (A - S 2 )pq 
und infolgedessen 
(1 + p*)D = (1 + p 1 )(A 1 - B 2 ) 2 + 4(1 + q 2 )B 2 
(29) + 4pq{A 1 - B 2 )B 1 
= (A ~ A) 2 + MA ~ A) + ‘HBif + 4S. 2 ; 
es läßt sich also (1 -(- p 2 )D als Summe dreier Quadrate dar 
stellen und darum ist auch D eine positive Größe. 
213. Analytische Charakterisierung der Nabel 
punkte. Ein Nabelpunkt ist dadurch gekennzeichnet, daß sich 
für ihn keine Bestimmung der Hauptnormalschnitte ergibt; die 
Gleichung (26) versagt aber nur dann, wenn die Koeffizienten 
einzeln verschwinden, wenn also: 
(l-(-y» 2 )s — pqr = 0, (1 + q*)r— (1 -\-p 2 )t=0, (l + q 2 )s—pqt=0 
oder 
/QQN r S t 
' 1 -J- p 2 pq_ 1 -|- q 2 
ist. 
Man kommt zu diesem Resultate auch von der Gleichung 
(27) aus, da man einen Nabelpunkt auch als einen Punkt mit 
gleichen Hauptkrümmungsradien definieren kann. Die Gleich 
heit der Wurzeln erfordert aber das Verschwinden der Deter 
minante und dieses erfolgt nach (29) mit 
Äi = B 2 , ^=0, 
was unter Bezugnahme auf (28) tatsächlich wieder zu den Be 
ziehungen (30) führt. 
Die beiden letzten Gleichungen haben aber auch 
= 0 
zur Folge; wenn sie also erfüllt sind, so verschwinden sämt 
liche Koeffizienten von (26*) und man kommt so wieder zum 
ersten Prinzip zurück.